7 Integration

7.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

7.4.4 Stammfunktion

Nachdem wir nun eine beträchtliche Zahl von bestimmten Integralen über eine große Menge von Intervallen ausrechnen können, bleibt noch die Frage nach dem unbestimmten Integral eines Differentialquotienten . Wir ersetzen dazu wieder die konstante obere Grenze des bestimmten Integrals durch eine Variable und kommen wie oben zu

Dies schreiben wir folgendermaßen um

denn ist bezüglich der Variablen ja tatsächlich eine Konstante, die allerdings noch von dem Anfangspunkt des Intervalls abhängt. Da man in der Funktion gerne wieder das übliche als Zeichen für die unabhängige Variable haben will, hat sich nun für die obige Gleichung eine unerhört schlampige Schreibweise weltweit eingebürgert: man schreibt nämlich dafür einfach symbolisch:

Das auf der linken Seite dient nur als Hinweis, dass es sich um eine Funktion einer unabhängigen Variablen handelt, und hat natürlich überhaupt nichts zu tun mit der ohnehin beliebig bezeichenbaren Integrationsvariablen auf der rechten Seite, die selbstverständlich nach der Integration rechts gar nicht mehr vorkommt. Wenn man sich diese Schlamperei einmal klargemacht hat, ist sie eine äußerst bequeme Sache und in der Tat in den größten Tafelwerken benützt und weltweit anerkannt.

So lässig geschrieben ist die Stammfunktion eigentlich eine ganze Funktionenschar mit dem Scharparameter . Die Stammfunktion von ist genau die Funktionenschar, die unsere ursprüngliche Differentialgleichung löst, und deshalb für die Physiker von so großer Wichtigkeit. Aus dieser Funktionenschar mit vorgegebenem Steigungsverlauf muß der Physiker nun nur noch durch Wahl der Konstanten diejenige Lösungsfunktion aussuchen, welche die richtige Randbedingung erfüllt, und schon ist das Problem gelöst.

Gesucht ist z.B. die Stammfunktion von , welche die Randbedingung erfüllt. Aus der Funktionenschar ist also diejenige Funktion auszuwählen, für die gilt, also zu wählen: folglich ist die gesuchte Lösung.