Lösung:

Zunächst interessiert das von den Ladungen der Kugelschale verursachte Potential an Messpunkten im Außenraum, d.h. , wo das Integral lautet:

,

also außer dem Coulomb-Abfall unabhängig vom Abstand , als ob die gesamte Ladung im Mittelpunkt säße.

Genauso einfach finden Sie das von der Ladung der Kugelschale bewirkte Potential an Messpunkten im Abstand vom Mittelpunkt im Innenraum der Schale, wo :

,

d.h. bei Berücksichtigung des Coulomb-Faktors ein konstantes Potential im Inneren.

Im Schalenvolumen selbst, d.h. für , muss das Integral in zwei Teile aufgespalten werden, da sich der Integrand ändert, wenn die Integrationsvariable über den Messpunkt hinwegstreicht.

Sie können sich leicht vergewissern, dass das den stetigen Übergang des Potentials bei und bedeutet:

und

Ja Sie können sogar nachweisen, dass auch die ersten Ableitungen stetig sind, die Potentialkurve also glatt ist, d.h. keine Knicke auftreten.

Im Grenzwert gegen erhalten Sie das Potential innerhalb und außerhalb einer Vollkugel. Dieselbe Integration liefert Ihnen auch das Gravitationspotential z.B der Erdkugel.

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