Lösung:

Zunächst interessiert das von den Ladungen der Kugelschale verursachte Potential an Messpunkten math formula im Außenraum, d.h. math formula, wo das Integral lautet:

math formula,


also außer dem Coulomb-Abfall unabhängig vom Abstand math formula, als ob die gesamte Ladung im Mittelpunkt säße.

Genauso einfach finden Sie das von der Ladung der Kugelschale bewirkte Potential an Messpunkten im Abstand math formula vom Mittelpunkt im Innenraum der Schale, wo math formula:

math formula,


d.h. bei Berücksichtigung des Coulomb-Faktors math formula ein konstantes Potential im Inneren.

Im Schalenvolumen selbst, d.h. für math formula, muss das Integral in zwei Teile aufgespalten werden, da sich der Integrand ändert, wenn die Integrationsvariable math formula über den Messpunkt math formula hinwegstreicht.

math formula


Sie können sich leicht vergewissern, dass das den stetigen Übergang des Potentials bei math formula und math formula bedeutet:

math formula

und

math formula


Ja Sie können sogar nachweisen, dass auch die ersten Ableitungen stetig sind, die Potentialkurve also glatt ist, d.h. keine Knicke auftreten.

Im Grenzwert math formula gegen math formula erhalten Sie das Potential innerhalb und außerhalb einer Vollkugel. Dieselbe Integration liefert Ihnen auch das Gravitationspotential z.B der Erdkugel.

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