8 Komplexe Zahlen

8.2 Rechenregeln der komplexen Zahlen

8.2.2 Abelsche Gruppe der Multiplikation

Auch bei der Multiplikation regelt Eulers alles automatisch. Wir können mit den von den reellen Zahlen gewohnten Gesetzen die beiden komplexen Zahlen und einfach miteinander multiplizieren und berücksichtigen:

So erhalten wir einen ziemlich komplizierten Ausdruck für das

Dieser Ausdruck läßt sich nicht leicht im kartesischen Koodinatensystem veranschaulichen, auch wenn wir ihn mit bzw. in Polarkoordinaten umschreiben:

Deshalb gehen wir mit der Eulerschen Formel und zur Exponentialdarstellung über, die unserem Wunsch nach Veranschaulichung entgegenkommt:

Das bedeutet für den

und für das

Aus der Gleichung für die Beträge entnehmen wir, dass , d.h. dass sich die Länge des Produktzeigers zur Länge des Zeigers des einen Faktors verhält wie die Länge des Zeigers des anderen Faktors zu . Zur Veranschaulichung haben wir also von dem einen Faktorzeiger, z.B. aus das Argument des anderen Faktors anzutragen, um genau dann den Produktzeiger zu erhalten, wenn das Dreieck dem Dreieck ähnlich ist. Wir illustrieren dies im nächsten Bild:

Bild 8.6: Multiplikation komplexer Zahlen

Als Nebenprodukt unserer obigen Bemühungen um eine Veranschaulichung in Polarkoordinaten haben wir wegen der Eindeutigkeit der komplexen Zahlen die trigonometrischen Additionstheoreme für die Winkelsummen abgeleitet, die wir früher Mühe hatten, herzuleiten und auswendig zu lernen:

Die Gesetze der abelschen Gruppe der Multiplikation ergeben sich wieder einfach aus den entsprechenden Relationen der reellen Zahlen.

Die Existenz einer eindeutigen Inversen ermöglicht die Division durch komplexe Zahlen: der Quotient löst die Gleichung für . Zur Veranschaulichung des Quotienten berechnen wir

Das bedeutet für den

und für das

Aus der Gleichung für die Beträge erhalten wir , d.h. die Länge des Quotientenzeigers verhält sich zur Länge des Zeigers des Zählers wie 1 zur Länge des Nenners. Zur Veranschaulichung haben wir also vom Argument des Zeigers des Zählers aus das Argument des Nenners abzuziehen, um genau dann den Quotientenzeiger zu erhalten, wenn das Dreieck dem Dreieck ähnlich ist. Wir sehen uns das wieder genauer im nächsten Bild an:

Bild 8.7: Division komplexer Zahlen

Um den Quotienten in kartesischen und ebenen Polarkoordinaten auszurechnen, verwendet man am besten die Relation

die man sich einprägen sollte, da sie häufig gebraucht wird.

Zur Vervollständigung der Gesetze eines Körpers gibt es dazu wie früher ein

Das komplex Konjugierte eines Produkts ist das Produkt der konjugierten Faktoren:

Der Stern kann wie bei der Summe in die Klammer hineingezogen werden.

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen benützt man häufig die Tatsache, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten reell ist:

Diese Relation hilft auch, wenn man einen Nenner reell halten will: .

Auch bei der Multiplikation gibt es wieder einen bescheidenen Rest der bei der Erweiterung der reellen Zahlen ins Komplexe verlorengegangenen Ordnung: Aus und folgt .