8 Komplexe Zahlen

8.3 Funktionen einer komplexen Variablen

8.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit

Auch die Übertragung des für die reellen Folgen und Funktionen zentralen Begriff des Grenzwerts bereitet uns keine ernsten Probleme, da es dabei auf den Abstand zwischen Punkten ankam, den wir auch im Komplexen zur Verfügung haben.

Wir sagen, eine Folge von komplexen Zahlen math formula hat eine komplexe Zahl math formula als Grenzwert oder Limes und schreiben: math formula ( manchmal lässiger: math formula ), oder nennen die Folge:

math formula konvergent gegen math formula:       math formula


Mit dem letzten Stenogramm ist wieder gemeint: für jede vorgegebene auch noch so kleine positive Zahl math formula kann man eine Nummer math formula angeben, so dass der Abstand vom Häufungspunkt math formula für alle Folgenglieder mit einer größeren Nummer als math formula kleiner ist als das vorgegebene kleine math formula.

Mit dieser Definition des Grenzwerts komplexer Zahlen sind alle Konvergenzbetrachtungen im Komplexen auf die Untersuchung der entsprechenden reellen Abstände zurückgeführt.

Für die komplexen Funktionen wählen wir wieder eine Folge math formula von komplexen Zahlen im Definitionsbereich math formula der Funktion math formula, die für math formula gegen die Zahl math formula strebt. Dann bilden wir die Funktionswerte an diesen Stellen math formula, die wieder eine Folge darstellen math formula, und überprüfen, ob diese Folge der Funktionswerte konvergiert. Falls sich das für jede aus dem Definitionsbereich herausgegriffene gegen math formula strebende Folge zeigen läßt und denselben Grenzwert math formula ergibt, nennen wir die Folge der Funktionswerte konvergent gegen math formula

math formula konvergent:       math formula


Wenn wir unsere Definition der Konvergenz für Folgen einsetzen, ergibt das:

math formulakonvergent:       math formula mit math formula


Dies für alle Folgen zu zeigen, ist natürlich wieder leichter gesagt als getan! Wir überlassen dieses Problem wie schon früher im Reellen den Mathematikern und beschränken uns auf die uns interessierenden meist ohnehin klaren Fälle.

Mit dieser Grenzwertdefinition können wir leicht auch für unsere komplexen Funktionen die Stetigkeit definieren analog unserer früheren Definition:

math formula stetig bei math formula       mit math formula


Für die Grenzwerte bedeutet das wieder, dass an der betrachteten Stelle math formula der Limes durch den Funktionswert math formula des Grenzwerts math formula einer Folge math formula aus dem Definitionsbereich der Argumente gegeben wird: math formula. Anschaulich heißt das, dass die Funktion math formula dem Punkt math formula benachbarte Punkte wieder in benachbarte Bildpunkte abbildet.