8 Komplexe Zahlen

8.3 Funktionen einer komplexen Variablen

8.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit

Auch die Übertragung des für die reellen Folgen und Funktionen zentralen Begriff des Grenzwerts bereitet uns keine ernsten Probleme, da es dabei auf den Abstand zwischen Punkten ankam, den wir auch im Komplexen zur Verfügung haben.

Wir sagen, eine Folge von komplexen Zahlen hat eine komplexe Zahl als Grenzwert oder Limes und schreiben: ( manchmal lässiger: ), oder nennen die Folge:

Mit dem letzten Stenogramm ist wieder gemeint: für jede vorgegebene auch noch so kleine positive Zahl kann man eine Nummer angeben, so dass der Abstand vom Häufungspunkt für alle Folgenglieder mit einer größeren Nummer als kleiner ist als das vorgegebene kleine .

Mit dieser Definition des Grenzwerts komplexer Zahlen sind alle Konvergenzbetrachtungen im Komplexen auf die Untersuchung der entsprechenden reellen Abstände zurückgeführt.

Für die komplexen Funktionen wählen wir wieder eine Folge von komplexen Zahlen im Definitionsbereich der Funktion , die für gegen die Zahl strebt. Dann bilden wir die Funktionswerte an diesen Stellen , die wieder eine Folge darstellen , und überprüfen, ob diese Folge der Funktionswerte konvergiert. Falls sich das für jede aus dem Definitionsbereich herausgegriffene gegen strebende Folge zeigen läßt und denselben Grenzwert ergibt, nennen wir die Folge der Funktionswerte konvergent gegen

Wenn wir unsere Definition der Konvergenz für Folgen einsetzen, ergibt das:

Dies für alle Folgen zu zeigen, ist natürlich wieder leichter gesagt als getan! Wir überlassen dieses Problem wie schon früher im Reellen den Mathematikern und beschränken uns auf die uns interessierenden meist ohnehin klaren Fälle.

Mit dieser Grenzwertdefinition können wir leicht auch für unsere komplexen Funktionen die Stetigkeit definieren analog unserer früheren Definition:

Für die Grenzwerte bedeutet das wieder, dass an der betrachteten Stelle der Limes durch den Funktionswert des Grenzwerts einer Folge aus dem Definitionsbereich der Argumente gegeben wird: . Anschaulich heißt das, dass die Funktion dem Punkt benachbarte Punkte wieder in benachbarte Bildpunkte abbildet.