8 Komplexe Zahlen

8.3 Funktionen einer komplexen Variablen

8.3.6 Trigonometrische Funktionen

Nachdem wir die Exponentialfunktion untersucht haben, werfen wir noch einen kurzen Blick auf die trigonometrischen Funktionen, Cosinus und Sinus, die wir mit Hilfe der Euler-Formel leicht aus der Exponentialfunktion erhalten oder durch ihre Potenzreihen definieren können:

Beide Reihen konvergieren in der ganzen Ebene. Wie wir wissen, sind Cosinus und Sinus

Ebenso wie unsere alten trigonometrischen Additionstheoreme aus Abschnitt 4.2.2: :

gelten auch , und für allgemeine komplexe Variable :

Speziell für erhält man daraus mit

Dabei sind die Hyperbel-Funktionen definiert wie früher:

Man sieht daraus, dass und im Komplexen keineswegs mehr beschränkt sind, sondern für große Imaginärteile ansteigen wie die Hyperbel-Funktionen.
Anders als bei der Exponentialfunktion werden hier senkrechte Streifen der z-Ebene mit der Breite , z.B. der Fundamentalbereich mit , auf die zwischen und aufgeschnittene zweiblättrige w-Ebene abgebildet.

An der komplexen Sinus-Funktion wollen wir die Vielfalt der Darstellungsmöglichkeiten demonstrieren, die uns zur Verfügung stehen. Wegen der Symmetrieeigenschaften genügt es, über dem Quadrat und zu betrachten:

Die folgenden Bilder zeigen zunächst die Höhenlinien für Realteil , Imaginärteil (gestrichelt), Betrag und Argument (ebenfalls gestrichelt) der Bildfunktion über dem Quadrat.

Bild 8.13 a): Höhenliniendarstellung für über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bild 8.13 b): Höhenliniendarstellung für über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bild 8.13 c): Höhenliniendarstellung für über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bilder 8.13 d): Höhenliniendarstellung für über dem ausgewählten Quadrat und

Üblicherweise faßt man diese paarweise in einem Diagramm zu einem Höhenliniennetz zusammen, wie in den nächsten beiden Bildern geschehen:

                  
Bild 8.13 e): Höhenliniennetz für und ,



Bilder 8.13 f): Höhenliniennetz für und über dem Quadrat

Es erfordert einige Übung, sich aus den Höhenlinien der Bildpunkte eine Vorstellung von der dargestellten Funktion zu machen. Dies gelingt schon etwas besser, wenn man die Flächen zwischen den Linien entsprechend dem Mittelwert der Funktion in diesem Gebiet in den Grautönen einer Skala abtönt, die von Schwarz bei tiefliegenden kleinen Werten in immer helleren Stufen bis Weiß reicht. Diese Art der Darstellung demonstrieren die Bilder g) bis j). Beim Imaginärteil kann man sich jetzt schon viel besser vorstellen, wie die Werte mit zunehmendem einerseits für ansteigen und andererseits für abfallen. Auch das rasante Ansteigen von und mit zunehmendem Abstand von der reellen Achse wird deutlich.

Bilder 8.13 g): Grau getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 h): Grau getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 i): Grau getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 j): Grau getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat

Noch schönere einprägsame Bilder erhält man, wenn man zur Charakterisierung der relativen Höhen eine Farbskala verwendet, etwa wie in geographischen Karten vom Dunkelblau der Meerestiefen über verschiedene Grüntöne bis zum immer dunkler werdenden Braun der Gebirge oder wie in dem hier bei den Bildern k) bis n) verwendeten Computer-Programm MATHEMATICA die Farben des Regenbogens entsprechend der Frequenz des Lichtes von (magma-)roten Tönen für kleinere Werte bis (himmel-)blauen bei hohen Funktionswerten anwachsend. Diese Bilder vermitteln einen deutlichen Eindruck von der Struktur des betrachteten "Gebirges der Funktionswerte".

Bilder 8.13 k): Regenbogenfarbig getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 l): Regenbogenfarbig getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 m): Regenbogenfarbig getönte Höhenliniendarstellung für über dem Quadrat,



Bilder 8.13 n): Regenbogenfarbig getönte Höhenliniendarstellungen für über dem Quadrat

Man sieht hier besonders schön den linearen Anstieg der Phase von bei zu bei .

Auch bei dieser Darstellungsart können wieder die farblich veranschaulichten Höhenlinien einer Variablen zu einem Netz ergänzt werden durch Eintragen der (gestrichelten) Höhenlinien einer zweiten Variablen, die allerdings dann nicht mehr farblich kommentiert werden können. Das wird in den nächsten beiden Bildern illustriert:

                  
Bilder 8.13 o): Regenbogenfarbig getöntes Höhenliniennetz für und über dem Quadrat



Bilder 8.13 p): Regenbogenfarbig getöntes Höhenliniennetz für und über dem Quadrat

Plastischer als bei diesen zweidimensionalen Projektionen ist jedoch der Eindruck, den man erhält, wenn man die perspektivischen Darstellungen der Funktionswerte betrachtet, die die modernen Computer-Zeichenprogramme anbieten, wie in den nächsten Bildern gezeigt:

Bild 8.14 a): Perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bild 8.14 b): Perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bild 8.14 c): Perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem ausgewählten Quadrat und ,



Bild 8.14 d): Perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem ausgewählten Quadrat und

Um den Einfluß der Vorzeichenwechsel zu demonstrieren, haben wir Ihnen schließlich die vier interessierenden Variablen mit Hilfe des MATHEMATICA-Programms noch über dem größeren Rechteckgebiet und dargestellt, und zwar so dass sie sich drehen können:

Bild 8.15 a): Drehbares perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem Rechteckgebiet: und ,



Bild 8.15 b): Drehbares perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem Rechteckgebiet: und ,



Bild 8.15 c): Drehbares perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem Rechteckgebiet: und ,

Wenn man in Richtung der positiven imaginären Achse auf dieses Gebirge schaut, sieht man deutlich die reelle Funktion bei einem senkrechten Schnitt über der reellen Achse . In Richtung der positiven reellen Achse gesehen, erkennt man die reelle Funktion über der imaginären Achse, und sogar die reelle Funktion ist als obere Einhüllende über der Geraden erkennbar.

Bild 8.15 d): Drehbares perspektivisches Relief der Funktionswerte von mit einem x-y-Netz über dem Rechteckgebiet: und

Nach Verschieben des Nullpunkts um in Richtung der reellen Achse beschreiben diese Bilder das Gebirgsrelief der komplexen Cosinus-Funktion.