9 Vektoren

9.4 Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren

9.4.4 Lineare Abhängigkeit, Basisvektoren

A) Zunächst betrachten wir Linearkombinationen aus zwei verschiedenen Vektoren: : Dabei können zwei Fälle auftreten:

A1) Falls es ein gibt, so dass gilt oder anders ausgedrückt: in mindestens einer der Faktoren ist, z.B. , so dass nach aufgelöst werden kann ,

so heißt das, dass durch einen Vektor repräsentiert werden kann, der ganz auf der Geraden liegt, die durch geht. Dann heißen die beiden Vektoren und linear abhängig, speziell auch kollinear.

A2) Falls es kein gibt, so dass für alle , also oder anders ausgedrückt: nur erreicht werden kann, wenn sowohl als auch ,

dann spannen die beiden Vektoren und durch die drei Punkte , und eine Ebene auf, und jeder Punkt dieser Ebene ist durch eine Linearkombination mit reellen Faktoren und erreichbar.

B) Dann untersuchen wir Linearkombinationen aus drei verschiedenen Vektoren: , und , wobei wieder zwei Fälle möglich sind:

B1) Falls zwei relle Zahlen und gefunden werden können, so dass oder anders ausgedrückt: in mindestens ein ist, z.B. , so dass nach aufgelöst werden kann,

so heißt das wie eben gezeigt, dass durch einen Vektor repräsentiert werden kann, der ganz in der von und aufgespannten Ebene liegt. Dann nennt man die drei Vektoren , und linear abhängig, speziell auch koplanar.

B2) Falls oder anders ausgedrückt nur erreichbar ist, wenn alle drei sind,

dann spannen die drei Vektoren , und den ganzen auf. Man sagt dann, sie bilden eine Basis des , d.h. jeder dreidimensionale Vektor ist als Linearkombination der drei Basisvektoren darstellbar: .

C) Vier Vektoren schließlich sind im immer linear abhängig.

Aufgabe 9.17: Basisvektoren a)      Bilden die folgenden drei Vektoren eine Basis des : und ? Lösung b)      Wie steht es mit den folgenden drei Vektoren: und ? Lösung

Besonders bequem als Basis sind Einheitsvektoren.