Nun wollen wir sehen, wie man das Skalarprodukt berechnet, wenn die beiden Vektoren in Komponenten gegeben sind: 
und 
: (jeweils mit Summenkonvention!)
wobei sowohl über 
, als auch über 
summiert wird
wegen der Homogenität des Skalarprodukts
wegen der Orthonormalität der Basisvektoren
wegen des Kronecker-Symbols bleibt von der Summe über nur der Term 
übrig. Deshalb bleibt nur noch die Summe über 
also
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Aufgabe 9.26: Kronecker-Symbol Leiten Sie die obige Formel ausführlich her mit explizitem Ausmultiplizieren der Klammern |
ohne Verwendung des Kronecker-Symbols, damit Sie ermessen können, welche Ersparnis an Rechenaufwand das Symbol mit sich bringt. |
Aufgabe 9.27: Orthonormalbasis Bilden die drei Vektoren |
, 
und 
eine Orthonormalbasis des Vektorraums? Speziell für einen der drei Basisvektoren erhalten wir:
ausführlich mit Summenzeichen: 
, die k-te Komponente des Vektors 
, denn die skalare Multiplikation mit dem k-ten Basisvektor ergibt ja die Projektion des Vektors auf die k-Achse. Daraus kann man leicht den gesamten Vektor wieder zusammensetzen:
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Aufgabe 9.28: Skalarprodukt Bestimmen Sie das Skalarprodukt und die Länge der Projektionen für die beiden Vektoren |
und 
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Aufgabe 9.29: Winkel mit den Koordinatenachsen: Welche Winkel bildet der Vektor |
mit den Koordinatenachsen?