Klassische Mechanik

 

WS  02/03         C. Wetterich

 

 

Übersicht

 

0)  Einführung

 

I  Newtonsche Mechanik

 

1)  Die Newtonschen Gesetze

         a)  Kinetik, Beschreibung durch Massenpunkte

         b)  Kraft

(i)Kraftgesetze

(ii)Differentialgleichungen für einfache Kraftgesetze

         c)  Wichtige Kräfte

(i)unabhängige Kräfte

(ii)Zweikörperproblem

(iii)Gravitationskraft zwischen zwei Körpern

(iv)Invarianzen

(v)Gravitationelles N-Körper System

(vi)Gravitationsfeld

(vii)Elektromagnetische Kräfte

 

2)  Bewegung eines Massenpunktes

         a)  Kraftfeld

         b)  Eindimensionales Problem und allgemeine Lösung

         c)  Periodisches Potenzial

(i)beschränkte und unbeschränkte Bewegung

(ii)Stabilität gegen kleine Änderung der Anfangsbedingungen

(iii)Phasenportrait, Separatrix

 

3)  Energiesatz

         a)  Konservatives Kraftfeld, Potenzial und Energieerhaltung

         b)  Stabile und instabile Bahnen

         c)  Equivalente Bedingungen für konservatives Kraftfeld

         d)  Eigenschaften von Wegintegralen

         e)  Teilchenbeschleuniger

 

4)  Systeme von Massenpunkten in Wechselwirkung

         a)  Konfigurationsraum

         b)  konservative äußere Kräfte und zentrale innere Paarkräfte

 

5)  Erhaltungssätze (Impuls, Drehimpuls)

         a)  Impuls

(i)Erhaltung des Gesamtimpulses

(ii)Schwerpunkt- und Relativbewegung

(iii)Wie gut ist Beschreibung durch Massenpunkt  für ausgedehntes System? Rückwirkung der inneren Dynamik auf Schwerpunktsbewegung

(iv)Taylor-Entwicklung für schwach inhomogene Potenziale

(v)Gezeitenkräfte

         b)  Drehimpuls

(i)Drehmoment

(ii)Drehimpulserhaltung für Zentralkräfte

 

6)  Zweikörperproblem

         a)  Reduktion auf Punktteilchen in Kraftfeld, Energie- und Drehimpulserhaltung

         b)  Flächensatz

         c)  Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten

         d)  Effektives Potenzial und Zentrifugalbarriere

         e)  Bahnkurve

         f)  Planetenbahnen, Keplerproblem

         g)  Ungebundene Bewegung, Streuung

 

7)  Virialsatz

         a)  Zeitliche Mittelwerte von kinetischer und potenzieller Energie

         b)  Homogene Potenziale

 

 

II  Lagrange Formalismus

 

8)  Die Lagrange Methode erster und zweiter Art (Zwangsbedingungen)

                                a) Problemstellung mit Zwangskräften

i)Lösungsstrategien

ii)Sphärisches Pendel

iii)Tangentialraum und virtuelle Verrückungen

iv)Gleichgewichtsbedingung für einen Massenpunkt

                                b) Lagrange-Methode erster Art

i)holonome Zwangsbedingungen

ii)Richtung der Zwangskräfte

iii)Virtuelle Verrückungen

iv)d'Alembert'sches Prinzip

v)Zwangskräfte

vi)Statik

vii)Energieerhaltung für holonom-skleronome Zwangsbedingungen

                                c) Lagrange-Methode zweiter Art

i)Euler-Lagrange Gleichungen

ii)Ebenes Schienenpendel

 

9)  Invarianz und Erhaltungssätze

                                a) Euler-Lagrange-Gleichungen als grundlegende Formulierung der

                                    klassischen Mechanik

                                b) Symmetrie-Transformationen

i)Invarianz der Lagrange-Funktion unter Symmetrie-Transformationen

ii)Symmetriegruppen

                                c) Das Noether'sche Theorem

i)kontinuierliche Symmetrien und erhaltene Größen

ii)Translations- und Rotations-Symmetrie

                                d) Energieerhaltung

i)Erhaltung der Hamilton-Funktion

ii)Bedeutung der Hamilton-Funktion

 

10)  Das Prinzip der stationären Wirkung

                                a) Das Hamilton'sche Prinzip (1)

                                b) Praktische Definition der Wirkung

                                c) Funktionale

                                d) Variierte Bahnen

                                e) Das Hamilton'sche Prinzip (2)

                                f) Beispiel: der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten

                                g) Funktionalableitung

                                h) Wirkungsprinzip als grundlegende Formulierung der Physik

 

11)  Die Hamilton-Funktion

                                a) Kanonische Bewegungsgleichungen

                                b) Phasenraum

                                c) Zyklische Koordinaten

 

 

III  Mechanik für Vielteilchensysteme

 

12)  Starrer Körper

                                a) Zwangsbedingungen und Freiheitsgrade

                                b) Eulersche Kreiselgleichungen

                                c) Kinematik des starren Körpers, Eulersche Winkel

i)Lage des starren Körpers

ii)Drehmatrix

iii)aktive und passive Drehung

iv)Eulersche Winkel

v)Momentane Winkelgeschwindigkeit

                                d) Kinetische Energie, Trägheitstensor

                                e) Drehimpuls

                                f) Bezugssysteme

                                               i)Körperfestes Bezugssystem

                                               ii)Trägheitstensor im körperfesten Bezugssystem

                                               iii)Kreiselgleichung im körperfesten System

                                               iv)Spezialfall: diagonaler Trägheitstensor

                                               v)Skalare Erhaltungsgrößen

                                g) Hauptachsen des Trägheitstensors

                                h) Freier symmetrischer Kreisel

i)Kreisel mit Zwangsbedingungen

                                               i)Lagrange Funktion

                                               ii)Beispiel: Symmetrischer Kreisel mit fest gelagerter Spitze

 

 

13)  Kleine Schwingungen

                                a) Linearisierung

                                b) Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen

                                               i)Diagonales System

                                               ii)Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix

                                               iii)Diagonalisierung der Lagrange-Funktion in drei Schritten

                                               iv)Allgemeine Lösung

                                               v)Superpositionsprinzip

                                c) Bestimmung der Eigenfrequenzen, Säkulargleichung

                                               i)Komplexe Exponentialschreibweise

                                               ii)Säkulargleichung

                                d) Gekoppelte Pendel

 

 

14)  Lineare Differentialgleichungen

                                a) Homogene lineare Differentialgleichungen

                                               i)Gedämpfte Schwingung

                                               ii)Superpositionsprinzip

                                               iii)Lineares Gleichungssystem

                                b) Inhomogene lineare Differentialgleichungen

                                c) Harmonische äußere Kräfte

                                               i)Spezielle Lösung

                                               ii)Phase

                                               iii)Resonanz

                                               iv)Gekoppelte lineare Systeme

                                d) Beliebige zeitabhängige äußere Kräfte

                                               i)Überlagerung periodischer Kräfte

                                               ii)Beliebige Kräfte

                                               iii)Fourier Transformation

 

 

15)  Kontinuumsmechanik und Statistische Mechanik (Ausblick)

                                a) Dichtefeld, Geschwindigkeitsfeld

                                b) Kontinuitätsgleichung

                                c) Ideale Flüssigkeit

                                d) Schallwellen

                                e) Statistische Mechanik (Ausblick)

 

 

IV Bewegte Bezugsysteme

 

16)  Bewegung in einem Nicht-Inertialsystem

                                a) Beschleunigtes Bezugssystem

                                b) Scheinkräfte

                                c) Beispiel: Erde als beschleunigtes Bezugssystem

                                d) Das Foucault'sche Pendel

 

 

17)  Relativistische Mechanik

                                a) Lorentz-Symmetrie

                                b) Vierer-Vektoren, Lorentz-Transformationen

                                c) Eigenzeit

                                d) Relativistische Mechanik, Wirkung

                                e) Impuls und Energie

i)Impuls

ii)Energie

iii)Energie-Impuls Beziehung für freie Teilchen

                                f) Teilchenzerfall

                                g) Impuls Vierervektor, Vierergeschwindigkeit

                                h) Kovariante und Kontravariante Vektoren

i)Invariante Masse

                                j) Abstand zwischen zwei Ereignissen

                                k) Wechselwirkungen

 

 

V Determinismus und Chaos

 

18)  Determinismus der klassischen Mechanik?

                                a) Vektorfelder als dynamische Systeme

                                b) Kriterien für Determinismus

                                c) Liapunov Exponenten