\Kapitel{Beispiel}{Example}
\marke

\bil{Als Beispiel bringe ich einen Teil der Multipol-Entwicklung
der Elektrostatik aus meiner Elektrodynamik-Vorlesung. In diesem Anfang ist
alles bis (\ref{Dip1}) in das Bild integriert.}
{As an example I bring part of the multipole expansion of electrostatics
from my electrodynamics lectures. Until (\ref{Dip1}) everything is integrated in
the 'Bild' (picture).}

\Section{Elektrischer Dipol und Qua\-dru\-pol}
{Electric Dipole and Quad\-ru\-pole}{Dip}
\marke

\Bild{\leer}
{Gegeben sei eine La\-dungs\-ver\-tei\-lung $\rho(\w r')$ innerhalb einer
Kugel vom Radius $R$ um den Ursprung. Au\3erhalb sei $\rho(\w r')=0$.}
{A charge dis\-tri\-bu\-tion $\rho(\w r')$ inside a sphere of radius $R$
around the origin is given.
We assume $\rho(\w r')=0$ outside the sphere.}
{
%
\Subsection{Das Feld f\"ur $r>R$}{The Field for $r>R$}{Dips1}
%
\bil{Das Potential der Ladungsverteilung ist}
{The potential of the charge distribution is}
\be
\Phi(\w r) = \int\de^3r' \frac{\rho(\w r')}{|\w r-\w r'|}. \label{Dip1}
\ee}
{\parbox{5cm}{\epsfig{file=E4_1.eps,scale=0.5,angle=0}}}
{9.8cm}{4cm}

\bil{Wir f\"uhren nun eine \scd{Taylor}-Entwicklung nach $\w r'$, das hei\3t
nach den drei Variabeln $x'_1$, $x'_2$ und $x'_3$ durch}
{We perform a \sce{Taylor}-expansion in $\w r'$, i.e. in the three variables
$x'_1$, $x'_2$ und $x'_3$}
\be
\frac 1{|\w r-\w r'|} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac {(-\w r' \nabla)^l}{l!}
\frac 1r
= \frac 1r - (\w r' \nabla) \frac 1r + \frac 12 (\w r' \nabla) (\w r'
\nabla) \frac 1r - ... \label{Dip2}
\ee
\bil{Als erstes m\"ussen wir den Gradienten von $1/r$ berechnen}
{At first we have to calculate the gradient of $1/r$}
\be
\nabla \frac 1r = - \frac{\w r}{r^3}, \bileq{ da }{ since } \nabla f(r) =
\frac{\w r}r f'(r), \label{Dip3}
\ee
