4 Funktionen

4.10 Stetigkeit

Die letzte wichtige Eigenschaft der Funktionen, die wir brauchen, ist die Stetigkeit: Insbesondere in der klassischen Physik stellen wir uns häufig mit Erfolg auf den Standpunkt: "Natura non facit saltus" (Die Natur macht keine Sprünge), d.h. wir betrachten stetige Funktionen. Für viele Experimente ist die Stetigkeit schon wegen der endlichen Meßgenauigkeit als Hypothese unentbehrlich. Aber natürlich gibt es auch unstetige Prozesse, z.B. beim Ein- oder Ausschalten und bei "Quantensprüngen".

Die Mathematiker definieren eine Funktion als stetig an einer Stelle , wenn sie dem Punkt benachbarte Punkte wieder in benachbarte Bildpunkte abbildet, in Kurzschrift:

stetig bei : mit

Für die Grenzwerte bedeutet das, dass an der betrachteten Stelle der rechtsseitige Limes und der linksseitige Limes gleich sind und durch den Funktionswert des Grenzwerts einer Folge aus dem Definitionsbereich der Argumente gegeben werden:

Der Graph einer stetigen Funktion "macht keine Sprünge". Die Heaviside-Funktion ist die Funktion mit dem "Einheitssprung". Mit ihrer Hilfe kann man alle in der Physik auftretenden Unstetigkeiten darstellen.

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten und verkettete Funktionen stetiger Funktionen sind wieder stetig. Daraus ergibt sich, dass alle bisher betrachteten Funktionen außer der Heavisideschen Stufenfunktion innerhalb ihrer Definitionsbereiche stetig sind. Die Stufenfunktion springt an der Stelle um : während doch war. Die Normalhyperbel ist zwar an der Stelle unstetig, aber dort auch nicht definiert.