5 Differentiation

5.5 Das Handwerk des Differenzierens

5.5.3 Ketten- und Umkehrfunktionsregel

Um die in der Physik auftretenden Funktionen zu differenzieren, brauchen wir, wie man schon aus den Blanks in der TABELLE sieht, zu diesen einfachen meist aus der Schule bekannten Regeln zwei weitere Differentiationsregeln:

Bei der Differentiation verketteter Funktionen hilft uns die Kettenregel: Sie gibt uns den Differentialquotienten einer mittelbaren Funktion aus den Differentialquotienten der eingesetzten "inneren" Funktion und der "äußeren" Funktion , in die eingesetzt wurde mit . Mit den Bezeichnungen von Leibniz erhalten wir das Produkt aus der sogenannten "äußeren" und der "inneren" Ableitung :

in Leibniz-Schreibweise oder in Lagrange-Schreibweise:

Nachdem wir mit dem Begriff der Differentiale vertraut sind, erscheint uns dieses Resultat als Trivialität, da einfach mit erweitert wurde. Dennoch wollen wir den Beweis kurz skizzieren zur Demonstration der Vorteile der Differentiale, mit deren Hilfe er nämlich besonders einfach wird:

Zuerst für die "innere" Funktion mit ,
dann für die "äußere" Funktion mit ,
nach Einsetzen ergibt dies: , was nach Division durch das Differential im Grenzwert übergeht in:

Folgendes Beispiel illustriert die Vorteile der Leibnizschen Schreibweise:

Gesucht werde die erste Ableitung von für :

denn mit , mit und mit .

Ein weiteres Beispiel ist die

Beweis mit : .

Schließlich brauchen wir noch die Umkehrfunktions-Regel für den Differentialquotienten der Umkehrfunktion mit einer differenzierbaren eineindeutigen Funktion mit , deren Differentialquotient bekannt ist und im ganzen nicht verschwindet:

Wir wollen nur diese in der Leibnizschen Schreibweise suggestiv einfache und vom Standpunkt der Differentiale triviale Formel herleiten: Dazu bilden wir die Ableitung von nach nach der Kettenregel:

und haben damit nach Division durch das Ergebnis.

Mit diesem Vorrat an Regeln können wir nun alle gewünschten Ableitungen berechnen. Die meisten Beweise finden Sie in Schubladen:

Zunächst die

als Umkehrfunktion von für , denn , d.h. unsere Potenzregel (*) gilt auch für reziproke Exponenten.

Dann allgemein für eine

D.h. die Potenzregel (*) gilt auch für beliebige rationale Exponenten.

Dann den

als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion für .

Es gilt sogar: . Denn für .

Dann betrachten wir die

D.h. unsere Potenzregel (*) gilt universell auch für beliebige reelle Exponenten.

Auch für den

zu einer beliebigen reellen Basis erhalten wir jetzt die Ableitung, und zwar als Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion :

Wir schließen diese auch für das übernächste Kapitel noch wichtige Liste der Differentialquotienten mit den zyklometrischen Funktionen und den Area-Funktionen ab:

Für den

Analog für den

Für den

Analog für

Die Area-Funktionen, die Umkehrfunktionen der Hyperbel-Funktionen, vervollständigen unsere Differentiationstabelle:

Für den

und den

Für den

und

Alle gewonnenen Ergebnisse finden Sie in der großen Differentiationtabelle vereint, auf die wir später noch oft zurückkommen werden: