Die Substitution ist immer dann anzuraten, wenn der Integrand 
stetig von einer anderen Variablen 
einfacher oder zweckmäßiger abhängt, die mit 
umkehrbar eindeutig und stetig differenzierbar zusammenhängt, wobei 
.
Der Klarheit wegen nennen wir die Integrationsgrenzen des gesuchten Integrals 
jetzt 
bzw. 
: also 
. Wegen der umkehrbar eindeutigen Zuordnung von und 
gibt es eine Umkehrfunktion 
, insbesondere sind 
und 
, und außerdem existiert wegen der stetigen Differenzierbarkeit die Ableitung: 
. Dann gilt (in der suggestiven Schreibweise von Leibniz fast trivialerweise) die:
|
Substitutionsformel |
Erfahrungsgemäß ist die Erklärung des Substitutionsverfahrens komplizierter als die Praxis. Deshalb geben wir einige typische Beispiele:
mit 
und 
. Als neue Variable drängt sich 
aufmit
, 
und 
also 
. Daraus folgt:
.
Ein für die Physik wichtiges Beispiel ist:
mit 
und 
. Wir wählen die Substitution 
mit
, 
und 
also 
. Damit ergibt sich:
.
Noch ein drittes Beispiel aus der Physik:
mit und 
. Wir substituieren 
mit
, 
und 
also 
. Daraus erhalten wir:
.
Ganze Klassen von Integralen erhält man auf folgende Weise durch Benützen der "Substitutionsformel rückwärts". Was damit gemeint ist, sieht man am besten an folgenden Beispielen:
Gesetzt den Fall wir haben ein Integral auszurechnen von folgendem Typ, wobei wir suggestiv für die willkürliche Intergrationsvariable gewählt haben:
so bildet dies offensichtlich die rechte Seite unserer Substitutionsformel speziell für die Funktion 
und wir können die Substitutionsformel sofort mit 
von rechts nach links, also "rückwärts" anwenden, um zu erhalten:
Das ist aber nach Zeile 14 unserer TABELLE gleich
und mit 
folgt insgesamt:
Als Beispiele erhalten wir etwa:
für  mit  : |
 , |
für  mit  : |
 , |
für  mit  : |
 , usw. |
Ganz analog zeigt man mit 
für 
:
|
Aufgabe 7.6: Leiten Sie aus dieser Formel weitere ab, indem Sie |
spezifizieren:
. |
Aufgabe 7.7: Beweisen Sie analog wie oben die Formel:
für |
und spezifizieren Sie darin |
Aufgabe 7.8: Was erhält man analog für |
? |
Aufgabe 7.9: Weitere vermischte Beispiele zur Substitution:
|
Sie ahnen aus diesen Beispielen die ungeheure Menge und Vielfalt von Integralen, die durch Anwendung der Substitutionsformel berechnet werden können. Dennoch reicht das auch für die Zwecke der Physik immer noch lange nicht aus. Bei so einfachen Integranden wie 
, 
oder 
sind wir immer noch ratlos.
Für solche und ähnliche Fälle gibt es eine Methode, die uns das Integral zwar nicht ganz liefert, aber in gewissem Sinne wenigstens eine teilweise Berechnung gestattet und manchmal in mehreren Schritten dann doch zum Ziel führt. Diese Methode heißt sinnigerweise "partielle Integration".