7 Integration

7.5 Die Kunst des Integrierens

7.5.4 Partielle Integration

Immer wenn ein Integrand so in ein Produkt zerlegt werden kann, dass von einem der Faktoren die Stammfunktion bekannt ist, sollte man die partielle Integration jedenfalls nicht unversucht lassen. Wir erinnern uns an die Produktregel der Differentiation aus Abschnitt 5.5.2:

integrieren diese und benützen den zweiten Teil des Hauptsatzes zur Integration des Produkts:

Nach dem ersten Term auf der rechten Seite aufgelöst, erhalten wir die Formel für die:

Das ist natürlich wegen des verbleibenden Integrals nach dem charakteristischen Minuszeichen auf der rechten Seite keine fertige Lösung unseres Problems. Aber manchmal ist dieses Integral leichter zu berechnen als das ursprüngliche.

Wir betrachten sogleich unsere oben genannten typischen Beispiele, etwa mit und :

Oder noch ein anderes vielleicht unerwartetes, aber keineswegs seltenes Beispiel mit und , bei dem durch das Einfügen einer Eins künstlich ein triviales Produkt erzeugt wurde:

Es ist nicht immer leicht zu sehen, welchen Faktor des Produkts man zweckmäßigerweise als Ableitung betrachtet. Dazu das Beispiel zunächst naheliegend mit :

Man sieht sofort, dass uns diese Wahl nicht weiterbringt, sondern den verbleibenden Integranden nur noch komplizierter macht. Die andere Möglichkeit dagegen führt uns zum Erfolg:

Wir betrachten noch den Integranden und wählen nach unseren soeben gemachten Erfahrungen :

Das ist zwar nicht die Lösung unseres Problems, aber ein Schritt in die richtige Richtung, denn das verbleibende Integral haben wir als letztes Beispiel gerade ausgerechnet. Damit folgt:

Insgesamt hat uns hier zweimalige partielle Integration zum Ziel geführt.

Ein weiteres interessantes Beispiel ist (zur Abwechslung mal als unbestimmtes Integral):

Das verbleibende Integral ist gleich dem ursprünglichen, folglich erhalten wir mit neuem :

Auch das nächste Beispiel mit ist bemerkenswert:

Nach Einsetzen der Relation erhalten wir:

Hier folgt noch eine ganze Reihe von Beispielen dieser Art mit , für die wegen ihrer Bedeutung auch für die Physik sogar eine Bezeichnung festgelegt wurde: