Die komplexen Zahlen bilden wie die reellen eine abelsche Gruppe der Addition: Wenn 
und 
zwei komplexe Zahlen sind, dann ist ihre Summe:
,
und 
.
Die Veranschaulichung in der Gauß-Ebene erfolgt am besten mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems: Der "Zeiger" der Summe ist das, was die Physiker aus dem Kräfteparallelogramm als resultierende Kraft kennen, wie im nächsten Bild zu sehen:
Bild 8.4: Addition komplexer Zahlen
Die Gruppengesetze ergeben sich einfach aus den entsprechenden Relationen der reellen Zahlen für Real- und Imaginärteil.
Dem eindeutig bestimmten Negativen 
zu jeder komplexen Zahl 
entspricht in der Gaußschen Zahlenebene der am Ursprung gespiegelte Punkt (oder Zeiger). Damit wird die Subtraktion der komplexen Zahlen möglich, wie von den reellen gewohnt: Die Differenz 
löst die Gleichung 
eindeutig.
Bild 8.5: Subtraktion komplexer Zahlen
Der Betrag der Differenz 
ist der Abstand der beiden entsprechenden Punkte bzw. der Spitzen der entsprechenden Zeiger in der Ebene.
Insbesondere gilt die Dreiecksungleichung: 
.
Für die komplexen Zahlen selbst gibt es keine Ungleichungen mehr. Man kann offenbar für zwei beliebige komplexe Zahlen nicht mehr entscheiden, welche von ihnen die größere ist. Das ist der wichtige Unterschied zu den auf der Zahlengeraden angeordneten reellen Zahlen und der Preis, den wir für die Erweiterung zahlen mußten. Es gibt allerdings noch einen "Rest von Ordnung", nämlich aus 
folgt immer noch 
.
Das komplex Konjugierte einer Summe ist die Summe der konjugierten Summanden:
Der Stern kann also in die Klammer hineingezogen werden.
Aus der Summe bzw. Differenz einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten erhält man leicht den Real- bzw. Imaginärteil:
bzw. 
Die komplex Konjugierte 
gestattet uns so auch die Umkehrung der Euler-Formel:
und 
.