8 Komplexe Zahlen

8.3 Funktionen einer komplexen Variablen

8.3.1 Definition

Ganz analog wie im Reellen definieren wir komplexe Funktionen einer komplexen Variablen wieder als Input-Output-Relation oder Abbildung, jedoch mit einem bedeutenden Unterschied : Die dort ausdrücklich in den Funktionsbegriff mit eingeschlossenen Eindeutigkeit mit wollen wir bei den komplexen Funktionen nicht voraussetzen:

Es wird also möglich und sogar die Regel sein, dass es zu einem Wert der unabhängigen komplexen Variablen aus dem Definitionsbereich im Wertevorrat mehrere Funktionswerte gibt. Wir werden ein-, zwei-, drei- usw. mehrdeutige, besser mehrwertige Funktionen kennen lernen und sogar -wertige zulassen.

Auf eine wichtige komplexe Funktion, die Exponentialfunktion, sind wir im Abschnitt 8.1.5 bereits gestoßen.

Da wir bei den komplexen Zahlen keine Ordnung mehr haben, kann es natürlich kein Analogon zur Monotonie geben, die für reelle Funktionen sehr wichtig war.

Das Rechnen mit komplexen Funktionen einer komplexen Variablen erfolgt nach den im letzten Abschnitt zusammengestellten Regeln des Körpers mit den beiden Kommutativen und Assoziativen Gesetzen sowie dem verbindenden Distributiven Gesetz: Z.B. ergibt die Summe bzw. Differenz zweier komplexer Funktionen eine neue komplexe Funktion, das komplexe Vielfache mit ebenfalls und analog das Produkt oder, falls im Definitionsbereich, auch der Quotient .