Matrizen:

Die Drehmatrizen sind nur ein Beispiel für die Größen mit zwei Indizes, die die Mathematiker Matrizen nennen. Man kann ganz allgemein für -Matrizen, d.h. Schemata mit Zeilen und Spalten Rechenregeln definieren und deren Strukturen untersuchen. Wir wollen unsere Überlegungen hier auf quadratischen -Matrizen und sogar speziell auf -Matrizen mit reellen Elementen beschränken.

Wir bezeichnen die Matrizen durch unterstrichene große Buchstaben z.B. . Ihre Elemente tragen zwei Indizes: der linke bezeichnet die (waagrechte) Zeile und der rechte die (senkrechte) Spalte der Matrix:

Matrix:

Es gibt einige Arten von Matrizen die ihrer Wichtigkeit wegen besondere Namen haben:

Vor allem Diagonalmatrizen, bei denen nur die drei Elemenete , und in der sogenannten Hauptdiagonale (:von links oben nach rechts unten) von verschieden sind, haben besondere Bedeutung. Die Nebendiagonale (:von rechts oben nach links unten) ist im Vergleich dazu weniger wichtig.

Diagonalmatrix:

Die Matrizen für Drehungen um Vielfache des Winkels sind Beispiele für Diagonalmatrizen: , und .

Auf halbem Weg zur Diagonalgestalt ist die Dreiecksform zu erwähnen, bei der entweder unter oder über der Hauptdiagonale nur Nullen stehen:

Dreiecksmatrix:

Auch Matrizen in Kästchenform sind für viele Zwecke besonders angenehm. Bei ihnen sind nur "Kästchen" um die Hauptdiagonale von Null verschieden. Unsere Drehmatrizen und sind von dieser Art.

Matrix in Kästchenform:

Eine einfache Operation, die bei jeder Matrix durchgeführt werden kann, ist die Transposition: Gemeint ist die Spiegelung der Matrixelemente an der Hauptdiagonale, bzw. die Vertauschung der Zeilen mit den Spalten:

Transponierte Matrix:

Es gibt Matrizen, bei denen die Transposition nichts ändert: Man nennt sie symmetrisch.

Symmetrische Matrix:

Diese symmetrischen Matrizen treten in der Physik häufig auf und haben den Vorteil, dass man sie mit bestimmten einfachen Umformungen auf Diagonalgestalt bringen kann.

Wie Sie unmittelbar sehen, hat eine symmetrische Matrix nur sechs unabhängige Elemente.

Falls die Spiegelung an der Hauptdiagonale ein Minuszeichen ergibt, heißt die Matrix antisymmetrisch:

Antisymmetrische Matrix:

Die Diagonalelemente müssen in diesem Fall natürlich verschwinden. Offensichtlich besitzt eine antisymmetrische -Matrix nur genau drei unabhängige Elemente. Das ist der tiefere Grund für die Existenz eines Vektorprodukts in drei Dimensionen, wie wir bald genauer sehen werden.

Schließlich folgt noch ein Spezialausdruck für eine charakteristische Größe jeder quadratischen Matrix: Die Summe der Elemente in der Hauptdiagonalen heißt Spur (:englisch Trace) der Matrix:

Spur:

Sie können sich leicht vorstellen, dass man für die reellen -Matrizen eine gliedweise Addition definieren kann und dass diese dann eine abelsche Gruppe der Addition bilden mit Assoziativgesetz, eindeutiger Nullmatrix, genau einem Negativen zu jeder Matrix und Kommutativem Gesetz, weil sich die entsprechenden Eigenschaften der reellen Zahlen einfach übertragen. Auch die elementweise Multiplikation mit einem Zahlenfaktor ist möglich und führt zu den üblichen Distributivgesetzen.

Für die Physik viel wichtiger ist jedoch die Multiplikation zweier -Matrizen, was im Spezialfall der Transformationsmatrizen zwei hintereinander ausgeführten Transformationen des Koordinatensystems entspricht:

Dabei gilt folgende

Bei der letzten angegebenen Formulierung wurde nach der Einsteinschen Summenkonvention (Siehe Abschnitt 9.2.3.2) das Summenzeichen weggelassen, weil die beiden gleichlautenden Indizes k die Summation genügend deutlich signalisieren.

In der Praxis denkt man sich zur Berechnung des Produktmatrixelements der z-ten Zeile und der s-ten Spalte die s-te (senkrechte) Spalte der rechten Faktormatrix waagrecht auf die z-te Zeile der linken Faktormatrix gelegt, aufeinanderliegende Elemente miteinander multipliziert und die drei Produkte addiert: z.B. , also insgesamt:

Aufgabe 9.10: Matrizenmultiplikation Multiplizieren Sie folgende Transformations-Matrizen: a)      und vergleichen Sie mit Lösung b)      speziell zu vergleichen mit Lösung c)      und vergleichen Sie mit Lösung d)      und vergleichen Sie mit . Lösung

Die wichtigste Entdeckung bei der Bearbeitung der Übungsaufgabe 9.10 ist, dass im allgemeinen für zwei Drehungen und folglich auch für die darstellenden Matrizen kein Kommutatives Gesetz gilt. Diese Tatsache können Sie mit jeder Streichholzschachtel leicht und anschaulich überprüfen, wie im folgenden Bild illustriert:

Die Beispiele der Aufgabe 9.10 haben Ihnen jedoch auch schon gezeigt, dass in einigen Ausnahmefällen das Kommutative Gesetz doch gilt: Z.B. sind alle Drehungen um ein und dieselbe Achse vertauschbar. Auch Diagonalmatrizen sind miteinander vertauschbar. Das ist ein Grund für ihre Beliebtheit. Wenn ist, dann verspricht die sogenannte Vertauschungsrelation eine interessante Größe zu sein. Das wird später in der Quantenmechanik noch große Bedeutung gewinnen.

Von der Kommutativität abgesehen, verhält sich die Matrizenmultiplikation jedoch, wie wir das erwarten: Sie befolgt ein

Assoziatives Gesetz: .

Aufgabe 9.11: Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation Verifizieren Sie das Assoziative Gesetz an der Euler-Drehung: , die vom raumfesten Koordinatensystem zum körperfesten System eines sich drehenden Kreisels führt. Lösung

Es existiert eine eindeutig bestimmte

Einheitsmatrix: mit ,

unabhängig davon, ob von rechts oder von links multipliziert wird.

Nur bei der

inversen Matrix: mit

gibt es eine gewisse Komplikation ähnlich der Bedingung bei der Division durch eine reelle Zahl. Eine eindeutig bestimmte Inverse gibt es nur für sogenannte nichtsinguläre Matrizen. Das sind Matrizen, deren Determinante nicht verschwindet: . Mit den Determinanten, dem wichtigsten Charakteristikum jeder Matrix, beschäftigen wir uns in einer gesonderten Schublade.

Für unsere Transformationsmatrizen ist diese Einschränkung jedoch bedeutungslos. Für sie ist nämlich die inverse Matrix einfach gleich der transponierten , die, wie wir gesehen haben, immer existiert: Man nennt eine derartige Matrix orthogonal (Siehe Abschnitt 9.8.2) und wir werden uns diese noch besonders ansehen:

orthogonale Matrix: oder

Zurück zum Text