9 Vektoren

9.7 Mehrfachprodukte

9.7.2 Geschachteltes Vektorprodukt

Neben dem Spatprodukt gibt es noch ein weiteres Produkt aus drei Vektoren , und (jeweils mit Summenkonvention!): das geschachtelte Vektorprodukt, das in der Physik z.B. in der Zentrifugalkraft vorliegt. Bereits bei der Frage nach der Gültigkeit eines Assoziativgesetzes für das Vektorprodukt haben wir als Gegenbeispiele zwei solche geschachtelten Vektorprodukte ausgerechnet.

Für den allgemeinen Fall berechnen wir zunächst das geschachtelte Produkt mit dem inneren Vektorprodukt als zweitem Faktor, wobei wir jeden Argumentationsschritt ausführlich kommentieren (Vergessen Sie nicht, an die Summenkonvention zu denken!):

das innere Vektorprodukt wurde eingesetzt,
wegen der Homogenität des Vektorprodukts
auch das äußere Vektorprodukt eingesetzt,
mit zyklisch permutiert,
Komponentendarstellung von ,
Summe über nur Beitrag für ,
Produkt der Levi-Civita-Symbole eingesetzt,
beide Summen über ausgeführt,
beide Summen über ausgeführt,
beide Summen über ausgeführt,
beide Summen über ausgeführt.

Insgesamt erhalten wir also den sogenannten

d.h. einen mit den Faktoren des inneren Vektorprodukts und komplanaren Vektor.

Wenn das Assoziative Gesetz gelten würde, wäre das gleich . Das ist aber, wie wir gesehen haben, nicht der Fall, sondern es gilt:

d.h. der Produktvektor ist zwar wieder komplanar mit den Faktoren des Inneren Vektorprodukts, diese sind jedoch jetzt und .