9 Vektoren

9.7 Mehrfachprodukte

9.7.4 Vektorprodukt zweier Vektorprodukte

Wir schließen die Zerlegung der Mehrfachprodukte ab mit dem Vektorprodukt zweier Vektorprodukte. Dabei entscheiden wir uns dafür, zunächst das zweite innere Vektorprodukt möglichst lange unangetastet zu lassen:

Wir haben dabei zunächst das erste Vektorprodukt durch seine Komponenten ersetzt, die Homogenität des Vektorprodukts ausgenützt, dann das erhaltene geschachtelte Vektorprodukt nach Graßmann entwickelt, die Projektion auf die Komponenten ausgeführt und schließlich Spatprodukte als Koeffizienten der beiden Faktorvektoren des zweiten Vektorprodukts erhalten, in deren Ebene das Ergebnis liegen muß.

Durch diese offensichtliche Unsymmetrie beunruhigt, berechnen wir dasselbe Produkt noch einmal, indem wir jetzt das erste innere Vektorprodukt möglichst lange unangetastet lassen und im übrigen ganz analog wie oben vorgehen:

Der Produktvektor des Vektorprodukts zweier Vektorprodukte muß also auf der Schnittgeraden der von den beiden Faktorpaaren der inneren Vektorprodukte aufgespannten Ebenen liegen.

Bild 9.28 : Vektorprodukt zweier Vektorprodukte

Zur Übersicht fassen wir die Formeln für die Mehrfachprodukte noch einmal zusammen:

Mit , und gilt:

Damit haben wir alle Mehrfachprodukte in Skalar-, Vektor- und Spatprodukte zerlegt. Es bleibt nur noch zu klären, wie sich diese drei Produktarten bei Änderungen des Koordinatensystems verhalten. Dazu benötigen wir eine Relation über die Determinante einer Transformationsmatrix, die Determinanten-Formel, die wir uns im folgenden Einschub beschaffen wollen.