Man sieht auch schon, dass die Drehungen wegen der Determinante
eine Untergruppe der Gruppe
, die sogenannte Spezielle Orthogonale Gruppe
bilden, denn
.
Nach diesen zukunftsträchtigen Erkenntnissen wollen wir weiter untersuchen, wie die für eine Transformation des Koordinatensystems zugelassenen orthogonalen Matrizen durch die Forderung weiter eingeschränkt werden, dass die neuen Basisvektoren wieder ein Rechtssystem bilden sollen. Das ist der Fall, wenn folgendes gilt:
Zum Beweis betrachten wir
Nach diesen uns schon geläufigen Rechenschritten mit Ausnützen der Homogenität des Vektorprodukts folgt nun ein ungewöhnlicher, aber wichtiger Schritt: Wir führen zu den drei in der Einsteinschen Konvention versteckten Summationen über
,
und
zu allem
Überfluss noch eine weitere künstlich hinzu, indem wir ein zunächst unnötig erscheinendes Kronecker-Symbol einschieben und über
summieren:
Diese durch das Kronecker-Symbol eingefügte
ersetzen wir jetzt durch
, d.h.
mit unserer orthogonalen Transformationsmatrix
.
Nach Vertauschen der Zahlen
und
gelangen wir so zu einem Ausdruck, der uns die Anwendung unserer früher abgeleiteten Determinanten-Formel
gestattet:
Wenn also unsere neue Basis wieder ein Rechtssystem sein soll, dürfen wir nur solche orthogonale Transformationsmatrizen zulassen, deren Determinante
ist, d.h. nur Elemente der Untergruppe
der Drehungen. Das ist aber genau das, was wir ganz zu Anfang dieses Kapitels bereits an einem Beispiel gesehen hatten: Die Paritätstransformation machte aus einem Rechts- ein Linkskoordinatensystem und mit ihr alle anderen Transformationen, die eine Spiegelung enthalten, was wir an der negativen Determinante jederzeit erkennen können.