9 Vektoren

9.8 Transformationsverhalten der Produkte

9.8.3 Untergruppe der Drehungen

Man sieht auch schon, dass die Drehungen wegen der Determinante math formula eine Untergruppe der Gruppe math formula, die sogenannte Spezielle Orthogonale Gruppe math formula bilden, denn math formula.

Nach diesen zukunftsträchtigen Erkenntnissen wollen wir weiter untersuchen, wie die für eine Transformation des Koordinatensystems zugelassenen orthogonalen Matrizen durch die Forderung weiter eingeschränkt werden, dass die neuen Basisvektoren wieder ein Rechtssystem bilden sollen. Das ist der Fall, wenn folgendes gilt:

math formula


Zum Beweis betrachten wir math formula

Nach diesen uns schon geläufigen Rechenschritten mit Ausnützen der Homogenität des Vektorprodukts folgt nun ein ungewöhnlicher, aber wichtiger Schritt: Wir führen zu den drei in der Einsteinschen Konvention versteckten Summationen über math formula, math formula und math formula zu allem Überfluss noch eine weitere künstlich hinzu, indem wir ein zunächst unnötig erscheinendes Kronecker-Symbol einschieben und über math formula summieren:

math formula


Diese durch das Kronecker-Symbol eingefügte math formula ersetzen wir jetzt durch math formula, d.h. math formula mit unserer orthogonalen Transformationsmatrix math formula.

math formula


Nach Vertauschen der Zahlen math formula und math formula gelangen wir so zu einem Ausdruck, der uns die Anwendung unserer früher abgeleiteten Determinanten-Formel math formula gestattet:

math formula


Wenn also unsere neue Basis wieder ein Rechtssystem sein soll, dürfen wir nur solche orthogonale Transformationsmatrizen zulassen, deren Determinante math formula ist, d.h. nur Elemente der Untergruppe math formula der Drehungen. Das ist aber genau das, was wir ganz zu Anfang dieses Kapitels bereits an einem Beispiel gesehen hatten: Die Paritätstransformation machte aus einem Rechts- ein Linkskoordinatensystem und mit ihr alle anderen Transformationen, die eine Spiegelung enthalten, was wir an der negativen Determinante jederzeit erkennen können.