3 Folgen und Reihen

3.4 Konvergenz

Nun folgt der Kernpunkt dieses ganzen Kapitels: Wie Sie aus der Projektion der Darstellungspunkte auf die 2-Achse gesehen haben, gibt es Zahlenfolgen, deren Glieder sich auf der Zahlengeraden um eine Zahl herum häufen, so dass unendlich viele Folgenglieder, in jeder - Umgebung dieser Zahl liegen, die übrigens nicht unbedingt selbst ein Glied der Folge zu sein braucht. Man nennt in einem solchen Fall einen Häufungspunkt der Folge. Von unseren Beispielen hat die Folge der natürlichen Zahlen (F1) keinen und die harmonische Folge (F3) einen Häufungspunkt, und zwar bei Null. Die alternierende Folge (F2) hat sogar zwei Häufungspunkte: einen bei und einen bei .

Der Satz von Bolzano und Weierstraß garantiert uns, dass jede nach oben und unten beschränkte Folge mindestens einen Häufungspunkt haben muß.

Falls eine Folge nur einen einzigen Häufungspunkt besitzt, kann es vorkommen, dass alle Folgenglieder ab einer bestimmten Nummer in der Umgebung dieses Punktes liegen. Man nennt diesen Punkt dann den Grenzwert der Folge und dieser Fall erweist sich als zentraler Begriff der Analysis: Die Mathematiker haben deshalb mehrere Bezeichnungen dafür. Sie sagen auch, die Folge hat einen Limes oder die Folge ist konvergent gegen und schreiben: , manchmal lässiger:

Mit dem letzten Stenogramm ist gemeint: für jede vorgegebene auch noch so kleine positive Zahl kann man eine Nummer angeben, so dass der Abstand vom Häufungspunkt für alle Folgenglieder mit einer größeren Nummer als kleiner ist als das vorgegebene kleine .

Für manche Folgen erkennt man die Konvergenz oder sogar den Grenzwert nach einiger Übung mit bloßem Auge, aber manchmal ist es gar nicht so einfach, festzustellen, ob eine Folge konvergent ist. Deshalb ist der Satz von Bolzano und Weierstraß sehr erwünscht, der uns zeigt, wann man ganz allgemein auf die Konvergenz einer Folge schließen kann:

In all den Fällen, bei denen man den Grenzwert nicht kennt oder nicht leicht herausfinden kann, hilft den Mathematikern oft auch das notwendige und hinreichende

d.h. eine Folge konvergiert genau dann, wenn die Abstände zwischen den Gliedern der Folge ab einer bestimmten Nummer immer kleiner werden, die entsprechenden Punkte auf der Zahlengeraden also immer näher zusammenrücken; wenn das nicht der Fall ist, dann divergiert sie.

Außerdem kann man zeigen, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge und die Summe und Differenz, sowie das Produkt und, falls der Nenner ungleich ist, auch der Quotient zweier konvergenten Folgen wieder konvergent sind, d.h. der Grenzwert ist mit den rationalen Rechenoperationen vertauschbar.

Viele konvergente Folgen haben die Null als Häufungspunkt, man nennt sie Nullfolgen.

Die harmonische Folge (F3) mit ist z.B. eine Nullfolge.

Die Folgen (F1) und (F2) konvergieren offensichtlich nicht.