4 Funktionen

4.9 Grenzwerte

Die Bildung des Grenzwerts für Funktionen wird durch folgende Überlegung auf die uns bereits bekannte Berechnung von Grenzwerten von Folgen zurückgeführt:

Wenn wir wissen wollen, ob die Funktionswerte einer reellen Funktion bei Annäherung des Arguments an eine reelle Zahl die Zahl als Grenzwert hat, wählen wir eine Folge von reellen Zahlen im Definitionsbereich der Funktion , die für gegen die Zahl strebt. Dann bilden wir die Funktionswerte an diesen Stellen , die wieder eine Folge darstellen , und überprüfen, ob diese Folge der Funktionswerte gegen konvergiert. Falls sich das für jede aus dem Definitionsbereich herausgegriffene gegen strebende Folge zeigen läßt, dann nennen wir die Folge der Funktionswerte konvergent gegen

Wenn wir unsere Definition der Konvergenz für Folgen einsetzen, ergibt das:

Dies für alle Folgen zu zeigen, ist natürlich leichter gesagt als getan! Wir brauchen uns hier jedoch nicht zu lange mit diesen zum Teil schwierigen mathematischen Fragen zu beschäftigen, mit denen Sie sich in der Analysis-Vorlesung noch auseinanderzusetzen Gelegenheit haben werden, sondern wollen uns mit einigen für die Physiker wichtigen Beispielen begnügen.

Bereits aus den Graphen sieht man z.B.

für das Verhalten am Ursprung, dass bei den Potenzen ist und divergent für . Außerdem sieht man leicht, dass und .

Für das Verhalten bei großen Werten der Variablen ist und divergiert. Auch ist und divergiert. Man sagt deshalb, dass die Exponentialfunktion stärker ansteigt als jede Potenzfunktion.