Zur Bestimmung der Momentangeschwindigkeit z.B. zur Zeit 
wählen wir demnach einen beliebigen Zeitpunkt 
in der Nähe von und zeichnen die Sekante durch die Funktionswerte 
und 
, bestimmen deren Steigung als Differenzenquotient: 
und lassen dann den Zeitpunkt 
gegen , also 
gehen. Dabei nähert sich bei einer stetigen Funktion auch 
dem Wert 
und die Sekante geht in die Tangente des Graphs über mit der
Tangentensteigung: 
In unserer üblichen mathematischen Bezeichnung mit 
für die unabhängige und 
für die abhängige Variable ergibt sich so der :
|
Differentialquotient |
Der Differenzenquotient 
ist bei diesem Grenzübergang 
in den sogenannten Differentialquotienten übergegangen, von seinem Erfinder Leibniz mit 
oder 
bezeichnet, jedoch zunächst eigentlich selbst kein Quotient, sondern nur der Grenzwert eines Quotienten. Wie bei allen fundamentalen Begriffen der Mathematik gibt es auch hier wieder mehrere Bezeichnungen: Die alternative, den meisten von der Schule her geläufige Bezeichnung 
, gesprochen "f Strich an der Stelle 
", stammt von Lagrange und soll daran erinnern, dass die Steigung des Graphen, auch (erste) Ableitung der Funktion genannt, im allgemeinen selbst wieder eine neue, entlang der Kurve variierende Funktion der unabhängigen Variablen ist, hier speziell an der Stelle angegeben. Auch die Bezeichnung 
ist im Gebrauch, die betont, dass die Differentiation eine "Operation" ist, bei der der "Differentialoperator" 
auf die rechts stehende Funktion 
wirkt und das Resultat dann speziell an der Stelle 
genommen werden soll. Es ist sinnvoll, alle diese Bezeichnungen nebeneinander zur Verfügung zu haben je nach dem Aspekt, auf den es gerade ankommt.
Äquivalente Bezeichnungen: 
Dabei ist noch eine Kuriosität der Physiker zu erwähnen: Falls die unabhängige Variable die Zeit ist, was natürlich sehr häufig vorkommt, schreiben und sprechen die Physiker statt des 
"Strich" einen hochgesetzten 
"Punkt": 
