9 Vektoren

9.6 Vektorprodukt und Levi-Civita-Symbol

9.6.8 Levi-Civita-Symbol

Wir schreiben einfach:

wobei der letzte Term noch einmal an die Einsteinsche Summenkonvention erinnert. Dabei ist das Levi-Civita-Symbol mit seinen drei Indizes definiert durch:

Das Symbol ändert offenbar das Vorzeichen beim Vertauschen je zweier Indizes, man nennt das total antisymmetrisch gegen Vertauschen der Indizes:

Bei allen geraden oder zyklischen Permutationen der Zahlenfolge 123 in den Indizes ergibt der Wert genau die drei oben angegebenen eine Rechtsbasis charakterisierenden Relationen. Die Indexkonstellationen mit einer ungeraden Zahl von Vertauschungen je zweier Indizes bzw. antizyklischen Permutationen von 123 führen auf die in den drei oben ebenfalls aufgeführten Vektorprodukten mit vertauschter Reihenfolge der Faktoren. Nur sechs der 27 Elemente des Symbols sind verschieden von . Alle 21 übrigen Elemente sind Nullen, so dass Sie Mühe haben, im folgenden Bild vor lauter Nullen die vom Ursprung aus gesehen bemerkenswert symmetrisch angeordneten wichtigen drei blauen Einsen und vor allem die noch wichtigeren grünen zu finden:

Bild 9.25: Veranschaulichung des Levi-Civita-Symbols:
Offensichtlich gibt es keinen Grund zur Angst davor! Es besteht ja fast nur aus Nullen.

Wie Sie aus dem Bild sehen, ist das Levi-Civita-Symbol trotz der vielen Nullen und seiner schönen Symmetrie wegen seiner drei Indizes ein ziemlich unhandliches Objekt. Deshalb wollen wir seine entscheidende Botschaft, nämlich die sechs Indexkonfigurationen, bei denen es nicht verschwindet, allein mit den uns schon vertrauteren handlichen Kronecker-Symbolen formulieren, es ist nämlich
bei , bei ; bei , bei ; bei und bei :

In dieser Form des Ergebnisses erkennen wir (nach unserer Schublade über das Rechnen mit Matrizen) die Entwicklung der Determinante einer -Matrix nach der ersten Zeile oder der ersten Spalte:

Also:

Beim Übergang von der ersten zur zweiten Version wurde berücksichtigt, dass die Determinante einer Matrix sich bei der Spiegelung an der Hauptdiagonalen nicht ändert: . Beim Übergang zur dritten Version haben wir die Symmetrie des Kronecker-Symbols gegen Vertauschen der beiden Indizes ausgenützt: . Es gibt offensichtlich noch eine Fülle von weiteren Formen des Levi-Civita-Symbols als Determinante, wenn wir etwa berücksichtigen, dass jede Determinante beim Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten ihr Vorzeichen ändert. Bei der Determinantendarstellung des Levi-Civita-Symbols sollten Sie sich immer daran erinnern, dass die Kronecker-Symbole in der Determinante nichts anderes sind als Platzhalter, die je nach dem Wert der Indizes lediglich sagen, ob da eine oder eine steht.