Die einfachste und wichtigste Art, drei Vektoren
,
und
(jeweils mit Summenkonvention!) miteinander zu multiplizieren ist das Skalarprodukt eines Vektorprodukts mit einem dritten Vektor, das sogenannte
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Spatprodukt:
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Dabei haben wir zunächst die Definitionen der beiden Produkte hingeschrieben, dann die Determinantendarstellung für das Levi-Civita-Symbol eingesetzt und vor der Ausführung der drei Summationen verwendet, dass die Determinante, wie wir früher gelernt haben, reihenweise homogen ist. Entsprechend den Umformungsmöglichkeiten der Determinanten sind weitere Formulierungen möglich, insbesondere durch zyklische Permutation und Spiegelung an der Hauptdiagonalen, d.h. die Komponenten der drei Vektoren können statt in die Zeilen auch in die Spalten der Determinante eingetragen werden.
Dieser Vielfalt der Möglichkeiten bei der Formulierung der Determinanten entsprechen viele Identitäten in den Darstellungen ein und desselben Spatprodukts in der konventionellen Form:
Wegen des Kommutativgesetzes des Skalarprodukts können darüber hinaus die beiden Malzeichen vertauscht und deshalb überhaupt weggelassen werden:
Die Antikommutativität des Vektorprodukts führt zu folgenden Relationen:
Die Auswertung der Determinante ergibt eine reelle Zahl:
Zur geometrischen Deutung, betrachten wir die nächste Abbildung:
ergibt einen Vektor mit einer Länge von der Größe der Parallelogrammfläche
und der Richtung von
, also senkrecht auf dem von
und
aufgespannten Parallelogramm. Auf die Richtung dieses Einheitsvektors
projiziert. Die Länge dieser Projektion
ergibt die Höhe eines Spats (: Parallelepipeds) über der Grundfläche
, dessen Volumeninhalt (allerdings mit Vorzeichen!) den Zahlenwert des Spatprodukts bedeutet. Je nach der Numerierung der drei Vektoren ist der Volumeninhalt mit einem Vorzeichen zu versehen.
sind und die Vektoren in der angegebenen Reihenfolge eine Rechtsschraube bilden, ist der Volumeninhalt positiv zu nehmen. Betrachten Sie zum Beispiel den ersten Einheitsvektor
, den Einheitsvektor
in der 1-2-Ebene, der mit
den Winkel
bildet, und den Vektor
, der in der 1-3-Ebene mit
einschließt, so wird das Spatprodukt
etwa gleich
für
und
, während
.
, wenn die drei Faktorvektoren komplanar, also linear abhängig sind, insbesondere wenn zwei der drei Faktoren gleich sind. Umgekehrt kann man vom Verschwinden der Determinante mit drei Vektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren auf deren lineare Abhängigkeit schließen.
,
und
linear unabhängig? 
, der Volumeninhalt des Einheitswürfels.
und
. 
,
und
. 
, nachdem Sie ihn in einen Würfel eingebettet haben. 
ab:
,
und
? Warum? 
,
und
.