Drei und mehr Probleme - Eine Lösung

Schwimmende zweidimensionale Körper im Gleichgewicht,
das Radspurproblem und
Elektronen in einem parabolischen Magnetfeld

English

Franz Wegner
Institut für Theoretische Physik
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

Dieser Beitrag hat einen zweifachen Zweck:
Nachdem die drei Probleme der Arbeit physics/0701241 (wo auch Zitate angegeben sind) erklärt sind, wird
(i) die Lösung beschrieben, wobei fast keine Mathematik verwendet wird, und
(ii) es werden Animationen für einige dieser Lösungen gezeigt.
Einige mathematische Formeln und Ergänzungen findet man in diesem ps-file bzw. pdf-file.
Wir zeigen jedoch in kurzer Form, dass es mehr Probleme mit diese Lösungen gibt, bevor wir durch das zuvor angegebene Programm gehen.

Die weiteren Fragestellungen

G. Bor, M. Levi, R. Perline, und S. Tabachnikov berichten in ihrer Arbeit "The track geometry and integrable curve evolution" arXiv: 1705.06314 (2017), dass die Kurven, die die drei Probleme lösen, auch Lösung mehrerer anderer Probleme sind.
Der lineare Grenzfall, den wir unten beschreiben, gibt die Form der Elastica wieder. Darunter versteht man die Form eines elastischen gebogenen Drahtes. Diese wurde von Jakob (James) Bernoulli 1691-1695 berechnet, der annahm, dass die Krümmung des Drahtes proportional zum Drehmoment ist. 1772 schlug Daniel Bernoulli (Neffe von Jakob) in einem Brief an Leonhard Euler diesem vor, dass die potentielle Energie eines gebogenen Drahtes proportional dem Quadrat der Krümmung integriert über die Bogenlänge des Drahtes sei. Euler, Meister in Variations-Techniken, führte eine sehr gründliche Berechnung der Elastica 1774 durch. Beide Ansätze sind äquivalent.
Es gibt noch weitere Probleme im Zusammenhang mit den Elastica. Ein sehr guter Überblick findet sich in der Doktorarbeit von Raph Levien The elastica: A mathematical history.
Die geschlossenen Kurven, die wir ausführlich betrachten, haben die Formen von eingedellten Ringen. Sie stellen Elastica unter homogenem Druck von außen dar. Lé;vy 1884, Halphen 1884-1888, und Greenhill 1892-1899 haben sie ausführlich untersucht.
Ein Überblick über diese Probleme und Lösungen findet sich in meiner Arbeit "From Elastica to floating bodies of equilibrium" arXiv: 1909.12596. Den historischen Überblick dieser Arbeit mit der Angabe der verschiedenen Probleme füge ich unter dem Titel "Von den Elastica zu den schwimmenden Körpern im Gleichgewicht" in deutscher Übersetzung bei.

Die drei Probleme

Schwimmende zweidimensionale Körper im Gleichgewicht

Von 1935 bis 1941 sammelten Mathematiker an der Universität in Lviv (Ukraine, damals Lwów Polen, früher Lemberg in Österreich-Ungarn), darunter Stefan Banach und Mark Kac, mathematische Probleme in einem Buch, das als Schottisches Buch bekannt wurde, da sie sich oft im Schottischen Cafe trafen. Stanislaw Ulam stellte das Problem 19 dieses Buchs: "Ist eine Kugel der einzige Festkörper konstanter Dichte, der im Wasser in jeder Orientierung schwimmen kann?" Das entsprechende zweidimensionale Problem, das wir hier betrachten, lautet: Gibt es lange gerade zylindrische Körper von nicht kreisförmigem Querschnitt, die in jeder Orientierung schwimmen können, ohne zu rotieren? 1938 gab Herman Auerbach eine große Klasse von Lösungen für einen Körper an, dessen Dichte die Hälfte der des Wassers ist. Hier betrachten wir in erster Linie den Fall, in dem sich diese relative Dichte von 1/2 unterscheidet. Am Ende gebe ich einige Beispiele für diese Dichte.
Unter einem geraden Zylinder verstehen wir einen Körper, der von zwei parallelen, ebenen Flächen (Grund- und Deckfläche) und einer Mantel- bzw. Zylinderfläche, die von parallelen Geraden gebildet wird, begrenzt ist, wobei diese Geraden senkrecht auf Grund- und Deckfläche stehen.

Das Fahrradspurproblem

Dieses Problem geht zurück auf die Geschichte "Das Abenteuer der Internatsschule" (The Priory School) von Arthur Conan Doyle, in der Sherlock Holmes und Dr. Watson beim Anblick der zwei Radspuren eines Fahrrads diskutieren, in welche Richtung das Rad fuhr. Das Problem ist: Gibt es außer Kreisen und Geraden Radspuren, denen man nicht entnehmen kann, in welche Richtung der Radler fuhr? Zur Lösung macht man eine vereinfachende Annahme (Physiker modellieren oft Systeme mittels Vereinfachungen): Es wird angenommen, dass die Lenksäule senkrecht auf der Ebene steht, auf der sich das Rad bewegt.

Elektronen in einem parabolischen Magnetfeld

Ein Elektron bewegt sich in einer Ebene in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Ebene steht und das parabolisch ist; das heißt die Feldstärke ist eine Konstante plus eine andere Konstante mal dem Quadrat der Entfernung vom Ursprung. Auf welcher Bahn bewegt sich das Elektron? Da das Elektron nur der Lorentz-Kraft unterworfen ist, die senkrecht auf seiner Geschwindigkeit steht, ist der Betrag seiner Geschwindigkeit konstant, aber seine Richtung ändert sich. Die Krümmung der Bahnkurve ist proportional zur magnetischen Feldstärke.
Mag.gif Die magnetische Feldstärke ändert ihr Vorzeichen bei rc. Überschreitet das Elektron diese Entfernung vom Ursprung, so ändert sich dort die Richtung der Bahnkrümmung.

Die Lösung

Diese drei Probleme haben eine gemeinsame Lösung. Ich gebe hier nicht die mathematischen Details an. Der interessierte Leser findet sie in der Arbeit physics/0701241 (englisch). Zur Lösung benötigt man doppelt-periodische Funktionen und verwandte Weierstrass-Funktionen. In speziellen Fällen, die ich unten angeben werde, kann das Ergebnis durch trigonometrische and Exponential-Funktionen dargestellt werden. Ich werde hier jedoch hier einige Eigenschaften der Lösungen angeben und bewegte Figuren zeigen.

Schwimmende zweidimensionale Körper im Gleichgewicht

Offensichtlich muss die Querschnittsfläche unterhalb der Wasserlinie für alle Orientierungen des Zylinders die gleiche sein. Sie ist gegeben durch die totale Querschnittsfläche multipliziert mit der Dichte des Körpers dividiert durch die Dichte des Wassers (Archimedisches Prinzip). Eine Diskussion der hydrostatischen Eigenschaften zeigt, dass die Länge der Wasserlinie (die Linie, die den Teil des Querschnitts unter Wasser von dem oberhalb des Wassers trennt), die ich mit 2l bezeichne, konstant ist. Darüber hinaus ist die Länge des Umfangs des Querschnitts unter Wasser konstant. In den Animationen wird die Begrenzung des Querschnitts in schwarz gezeigt.
Anstatt den Körper zu rotieren, werde ich ihn festhalten und annehmen, dass die Richtung der Gravitation rotiert. Dann werden die verschiedenen Wasserlinien in grün und blaugrün gezeigt. Die rote Einhüllende der Wasserlinien berührt diese Linien in der Mitte. Der Teil innerhalb der Einhüllenden ist immer oberhalb oder unterhalb des Wassers (vorausgesetzt innerhalb und außerhalb ist wohl definiert, was nicht der Fall ist, wenn die Dichte des Körpers die Hälfte der Wasserdichte ist).

Das Fahrradspurproblem

Mit der oben angegebenen Vereinfachung ist der Abstand zwischen den Punkten, an denen Vorder- und Hinterrad den Boden berühren, konstant. Wir bezeichnen ihn mit l. Dann ergeben die Endpunkte der Tangenten der Länge l an die Spur des Hinterrades in Richtung der Bewegung des Rades die Spur des Vorderrades. Falls diese Tangenten in beiden Richtungen an der Spur des Vorderrades enden, ist offen, in welche Richtung das Rad fuhr. Daher haben wir es nun mit dem gleichen Problem wie beim schwimmenden Körper zu tun. Jetzt sind die schwarzen Linien die Spuren des Vorderrades, die roten Linien die Spuren des Hinterrades, und die sich verschiebenden grünen und blaugrünen Linien geben die Lage der Fahrräder zu verschiedenen Zeiten an.

Eigenschaft der konstanten Sehnenlänge

Wir suchen und finden daher Kurven, die die folgende Eigenschaft der konstanten Sehnenlänge haben: Ausgehend von zwei geeigneten Punkten A1 und A2 auf der Kurve bewegen wir uns eine beliebige, aber gleiche Bogenlänge auf den Kurven zu den Punkten B1 und B2. Dann muss die Sehnenlänge die gleiche sein, A1A2 = B1B2 = 2l.

Zur Lösung

Ursprünglich betrachtete ich das Problem der schwimmenden Körper. Ich begann mit dem Kreis, einer offensichtlichen Lösung. Dann verbog ich ihn leicht, indem ich dem Abstand vom Ursprung erlaubte, zu oszillieren, so dass bei einem Umlauf der Radius n mal etwas größer, n mal etwas kleiner als der mittlere Radius war. Dies ergibt Lösungen für n-2 verschiedene Dichten. Dann entwickelte ich das Ergebnis nach Potenzen der Verbiegung (Taylor-Entwicklung) und ich stellte fest, soweit ich die Entwicklung durchführen konnte, dass diese Entwicklung für alle n-2 verschiedenen Dichten übereinstimmte. Diese Entwicklung erforderte umfangreiche analytische Rechnungen. Es war daher nützlich ein Computeralgebra-System (Maple) zu verwenden. Die Annahme, dass diese Unabhängigkeit auch in höheren Ordnungen gilt, gab mir einen Hinweis darauf, wie man eine Differentialgleichung für die Begrenzungslinie herleiten kann.

Elektronen in einem parabolischen Magnetfeld

Integriert man diese Differentialgleichung einmal, so findet man, dass die Krümmung der Begrenzungskurve quadratisch vom Radius abhängt. Dies wurde mir allerdings erst klar, nachdem ich die Bahnen von Elektronen sah, die sich in einem linear anwachsenden Magnetfeld bewegen, das senkrecht zur Ebene steht. Diese waren von Evers, Mirlin, Polyakov und Wölfle berechnet worden, und sahen den Kurven, die ich im entsprechenden linearen Grenzfall berechnet hatte, sehr ähnlich.

Verschiedene Bedingungen

Die Kurven, die ich im folgenden zeigen werde, sind Lösungen einer Differentialgleichung, die mehrere Konstanten enthält, die so gewählt werden können, dass bestimmte Bedingungen für die Kurve erfüllt sind. Im Falle des sich bewegenden Elektrons gibt es keine Einschränkungen.
Im Falle der Radspuren wird man im allgemeinen davon ausgehen, dass sie/er in einer Richtung fährt; insbesondere sollte das für die Bewegung des Hinterrads zutreffen. Falls sie/er sehr artistisch ist und das Rad es erlaubt, dann gibt es auch Fälle, in denen sie/er sich vor und zurück bewegt. Für einige Lösungen ist es sogar notwendig, dass man die Lenkstange um mehr als 180 Grad drehen kann. Trotzdem kann es sein, dass Teile der Kurve ohne Probleme durchradelt werden können. Schließlich fahren Radler nicht unbegrenzt.
Für die Begrenzung des schwimmenden Körpers muss man fordern, dass sie geschlossen und der Querschnitt hinreichend konvex ist, so dass die Wasserlinien die Begrenzung genau zweimal schneiden, und nicht öfter.

Eigenschaft der konstanten Entfernung

Die Klasse von Kurven, die hier beschrieben werden, haben eine bemerkenswerte Eigenschaft: Man wähle willkürlich zwei Punkte A'1 und A2 auf der schwarzen Kurve. Dann gibt es einen Winkel δχ, um den diese Kurve in die blaue Kurve zu drehen ist, wobei A'1 nach A1 gedreht wird. Geht man nun von A1 und A2 auf den jeweiligen Kurven beliebige, aber gleiche Bogenlängen entlang, so ist der Abstand zwischen den neuen Punkten B1 und B2 der gleiche, A1A2 = B1B2 = 2l.

Ich nenne dies die Eigenschaft der konstanten Entfernung.
Falls A1 und A2 übereinstimmen, dann ist der Winkel δχ=0. Er wächst mit dem Abstand der Punkte A'1 und A2 auf der Kurve an. Jedes mal, wenn dieser Winkel δχ die beiden Kurven zur Deckung bringt, fallen die schwarze und die blaue Kurve zusammen und man erhält eine Lösung für die Sehnen konstanter Länge.
In dem Beispiel mit verschiedenen Drehwinkeln δχ ist das bei δχ=900 der Fall.
Diese Eigenschaft machte es möglich, eine Differentialgleichung für die Kurven zu erhalten, indem das Problem für einen sehr kleinen Winkel δχ betrachtet wurde. (Eine Animation für zwei Drehwinkel wird hier unten gezeigt).

Zweige und Grenzfälle

Je nach Wert der Konstanten in der Differentialgleichung erhält man einen Kurvenzweig oder zwei. Dies sollte nicht zu überraschend sein, da man für Kegelschnitte etwas entsprechendes hat. Dort kann man Ellipsen (ein Zweig) oder Hyperbeln (zwei Zweige) als Lösungen haben. Man bemerkt außerdem, dass es für Kegelschnitte gewisse Grenzfälle gibt. Ein solcher Grenzfall ist die Parabel (an der Grenze zwischen Ellipse und Hyperbel), ein anderer Grenzfall ergibt zwei Geraden (bei einem Schnitt durch die Spitze des Kegels).
Ähnlich gibt es hier zwei Grenzfälle: In einem ist der Kreis Lösung oder die Kurve nähert sich ihm asymptotisch; der andere ist der lineare Grenzfall, bei dem sich die Kurven periodisch in gerader Richtung wiederholen.
Die Form eines Kegelschnitts kann durch eine Zahl beschrieben werden, die kontinuierlich variiert werden kann. Für Ellipsen kann das das Verhältnis zwischen den beiden Hauptachsen sein. (Allgemein verwendet man zur Charakterisierung der Form der Kegelschnitte die numerische Exzentrizität). Die Form unserer Kurven ist durch zwei Zahlen festgelegt, die kontinuierlich variiert werden können. Die meisten Kurven wiederholen sich nach Rotation um einen bestimmten Winkel ψr. Daher kann eine dieser Zahlen dieser Winkel sein. Hier werde ich meist Figuren zeigen, die geschlossen sind. Dies ist der Fall, falls ψr=3600×m/n mit ganzen (teilerfremden) m und n. Daher wiederholen sich die Kurven nach m-fachen Umlauf um den Ursprung. Während dieser m Umläufe erreicht die Kurve n mal ihre größte und n mal ihre geringste Entfernung vom Zentrum der Kurve.
Für das Problem des schwimmenden Körpers benötigt man m=1. Eine andere Größe, die variiert werden kann, ist das Verhältnis des größten und kleinsten Abstands vom Ursprung, den ich als (1+ε)/(1-ε) einführe.

Dreidimensionale Körper

Das ursprüngliche Problem lautete "Ist eine Kugel der einzige Festkörper konstanter Dichte, der im Wasser in jeder Orientierung schwimmen kann?" Hierzu gibt es den Beweis von Schneider und von Falconer, dass ein sternförmiger zentralsymmetrischer Körper, der in allen Orientierungen bei Dichte 1/2 schwimmen kann, eine Kugel sein muss. Sternförmig heißt ein Körper, wenn es einen Punkt A gibt, sodass für jeden Punkt P im Körper die gerade Verbindungslinie AP vollständig im Inneren des Körpers verläuft. Bisher habe ich zwei Untersuchungen zum Problem der dreidimensionalen Körper durchgeführt. In beiden Fällen betrachte ich kleine Deformationen um die Kugel:
In arxiv: 0803.1043 mit dem Titel "Floating Bodies of Equilibrium in Three Dimensions. The central symmetric case" werden die Bedingungen für Körper mit Zentralsymmetrie und relativer Dichte verschieden von 1/2 untersucht. Es wird aber auch an einem Beispiel gezeigt, dass es zentralsymmetrische Lösungen zu dieser Dichte gibt, wenn man die Bedingung der Sternform fallen lässt.
In arxiv: 0902.3538 mit dem Titel "Floating Bodies of Equilibrium at Density 1/2 in Arbitrary Dimensions" wird gezeigt, dass es auch in Dimension drei (und höher) eine große Mannigfaltigkeit von Lösungen zur Dichte 1/2 gibt. Zu jeder gegebenen Einhüllenden der Wasserflächen, die nur die Eigenschaft haben muss, dass es genau eine Tangentialebene an die Einhüllende parallel zu jeder Ebene gibt, gibt es Lösungen.
Gegenwärtig führe ich Untersuchungen zu nicht zentralsymmetrischen Körpern mit Dichte verschieden von 1/2 durch.

Die Animationen

Wie in den obigen Figuren werden der Rand des schwimmenden Körpers, die Spur des Vorderrades und die Bahn der Ladung in schwarz und manchmal in blau dargestellt. Die Wasserlinie des schwimmenden Körpers wird halb in grün, halb in blaugrün dargestellt. Diese beiden Linien geben auch die Lage der beiden Fahrräder in grün und blaugrün wieder. Die grünen und blaugrünen Endpunkte bewegen sich auf der schwarzen (blauen) Kurve und geben die Lage der Vorderräder der beiden Fahrräder an. Der Mitte (roter Punkt) der Linie generiert die rote Einhüllende. Sie ist die Spur des Hinterrades. Die grünen und blaugrünen Endpunkte bewegen sich in jedem Schritt um die gleiche Bogenlänge auf der schwarzen (blauen) Kurve. Die Länge l der grünen und blaugrünen Linien sind konstant.

Beispiele für schwimmende Körper

Hier werden einige Lösungen für schwimmende Körper für n=4, 5, und 6 gezeigt. Man beachte, dass im allgemeinen ein gegebener Querschnitt Lösung für mehrere Dichten ist.
Natürlich sind dies auch Lösungen für das Fahrradspurproblem.
Man vergleiche dies mit den Beispielen von David L. Finn.

Variation des Verhältnisses der extremen Radien

Damit die Querschnitte der schwimmenden Körper hinreichend konvex sind, muss ε hinreichend klein sein. Dies gilt auch für das Fahrradspurproblem, da sonst die/der Radler(in) gezwungen ist mit dem Hinterrad vor und zurück zu fahren. In den Figuren für die schwimmenden Körper war ε=0.1 für n=4 und n=5, ε=0.05 für n=6. Hier zeigen wir Figuren für größere Werte von ε für n=5. Falls ε=1 ist, geht die Kurve durch den Ursprung. Für größere Werte von ε führt sie auf der anderen Seite am Ursprung vorbei und das Verhältnis aus größtem und kleinstem Abstand ist (1+ε)/(ε-1).

Eigenschaft des konstanten Abstands

Die Eigenschaft des konstanten Abstands, die oben erwähnt wurde, wird in zwei Beispielen für m/n=1/2 gezeigt.
Es sei noch bemerkt, dass man keine Sehne konstanter Länge erhält, wenn n-m=1 ist, was also hier der Fall ist. Doch bleibt die Eigenschaft des konstanten Abstands.

m≠1 und die Acht

m muss nicht gleich 1 sein. Die erste Figur in m≠1, die Acht zeigt ein Beispiel für m/n=2/5 mit Sehne konstanter Länge.
Die anderen zwei Figuren zeigen Paare von Achten, die man für m=0 erhält, die durch Linien konstanter Länge verbunden sind. Für diese Achten hat man m/n=0/1. Daher gibt es auch für diese keine Sehnen konstanter Länge.
Aus Gründen, die ich hier nicht erkläre, kann man auch negative m verwenden. Ein Beispiel für m/n=-1/7 mit drei verschiedenen Sehnenlängen wird gezeigt.

Beispiel mit zwei Zweigen

Wie vorher erwähnt, können zu den Kurven zwei Zweige gehören. Dann besteht nicht nur innerhalb der einzelnen Zweige die Eigenschaft des konstanten Abstands, sondern auch zwischen den beiden Zweigen. Dies wir für m/n=1/3, ε=3.0 gezeigt.

Der ausgeartete Fall mit Kreisen

Auf den folgenden fünf Seiten werden Kurven gezeigt, die dadurch erzeugt werden können, dass man das blaugrüne Ende einer Strecke entlang des magentaroten Kreises so bewegt, dass die rote Mitte der Strecke sich in Richtung der Strecke bewegt, als ob die Strecke in der Mitte von einem Rad unterstützt ist, das in Richtung der Linie angebracht ist. Das andere grüne Ende der Linie beschreibt die gesuchte Kurve.

Hier nützen wir aus, dass der Kreis eine der beiden Kurven ist, bzw. sich die Kurve asymptotisch annähert. Daher besteht hier die Eigenschaft des konstanten Abstandes zwischen Kreis und nicht trivialer Kurve.
Diese Lösungen können durch Exponential- und trigonometrische Funktionen (siehe Abschnitt 8 der Arbeit) dargestellt werden, während sonst doppel-periodische Funktionen benötigt werden.
Auf den folgenden drei Webseiten zeigt die erste Figur diese Konstruktion, die zweite die Bewegung der Sehne. Dies sind keine Lösungen für den schwimmenden Körper, aber Teile der schwarzen und roten Kurven, die den Schleifen entkommen, sind Lösungen für die Fahrradspuren.
ε ist das Verhältnis der Länge der Linie zum Radius des magentaroten Kreises für die jeweils erste Figur. Falls ε größer als zwei ist, dann ist die erzeugte schwarze Kurve periodisch. Drei εs wurden ausgewählt, um geschlossene Kurven zu erzeugen:
m/n=1/3, ε=5/2=2.5
m/n=-1/3, ε=sqrt(49/10)=2.213594
m/n=-2/1, ε=sqrt(64/15)=2.065591
Falls ε kleiner als zwei ist, erhält man eine Kurve außerhalb und eine innerhalb des Kreises. In diesem Fall nähert sich die Kurve asymptotisch an den Kreis. Wir zeigen die Kurven für ε=1.6.
Im Grenzfall ε=2 erhält man eine Kurve, die sich asymptotisch an den Kreis annähert.

Der lineare Grenzfall

Man kann die extremen Abstände vom Ursprung nach unendlich gehen lassen, aber deren Differenzen endlich lassen. Dann erhält man den linearen Grenzfall.
Auch hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann einen Kurvenzweig erhalten. So lange die Kurven so lang gezogen sind wie im Beispiel, handelt es sich um gute Lösungen für das Radspurproblem.
Im Grenzfall extremer Streckung gibt es keine Lösung für eine Sehne konstanter Länge. Es gibt jedoch Linien konstanter Länge für zwei Kurven, die gegeneinander verschoben sind oder einander gegenüber liegen.
Die Kurve entsteht auch, indem man das blaugrüne Ende der Strecke an der magentaroten Geraden entlang laufen lässt, sie so bewegt, dass die Mitte wieder parallel zur geraden läuft. Dann durchläuft das grüne Ende die schwarze Kurve.
Im linearen Grenzfall gibt es auch den Fall zweier Kurvenzweige. Zwischen diesen gibt es Linien konstanten Abstands für unendlich viele Abstände.
Derartige Kurven finden sich in einer Arbeit von Evers, Mirlin, Polyakov, und Wölfle (siehe Figuren 1 und 2) als Elektronenbahnen in einem magnetischen Feld senkrecht zur Ebene, das linear in einer Richtung der Ebene anwächst.

Die Karusselle von Oliveros, Montejano and Bracho

Oliveros, Montejano und Bracho führen fünf dynamische gleichseitige (aber nicht gleichwinklige) Fünfecke ein, deren Ecken auf einer oder fünf gleichen Kurven laufen, wobei die Seiten des Fünfecks Sehnen oder Strecken konstanter Länge bilden. (Sie bezeichnen diese Anordnung als Karussell).
In Karusselle I laufen die Ecken der Fünfecke auf fünf Achten und entlang geschlossener Kurven mit m/n=1/7 and 1/12. Die Fläche der Fünfecke bleibt konstant.
In Karusselle II sind fünf Kopien einer Kurve mit ε=1 zu sehen, die gegeneinander mit zwei verschiedenen Winkel verdreht sind und die Ecken der Fünfecke tragen. Zusätzlich ist ein Satz von fünf Kurven des linearen Grenzfalls zu sehen, auf denen das Fünfeck entlang krault. Falls sich das Fünfeck überschneidet, ist die Differenz der beiden Flächen konstant.

Lösungen zur Dichte 1/2

Auerbach hat 1938 die allgemeine Lösung zur Dichte 1/2 angegeben. Hierzu ist eine Einhüllende mit der Eigenschaft zu wählen, dass sie nur eine Tangente für jede Richtung hat und nachdem die Richtung der Tangente um 1800 gedreht ist, sich wieder schließt. Eine solche Einhüllende hat in der Regel eine ungerade Anzahl von Spitzen. Sie kann zum Beispiel aus Kreisbogen bestehen. Diese Einhüllenden können auch zu Polygonen entarten. Eines mit fünf Spitzen ist ein Pentagramm.

Die Begrenzungen müssen keine Ecken haben. Eines der Beispiele von Auerbach hat Herzform. Das andere hat keine Ecken. Die Beispiele bestehen aus zwei oder drei geraden Linien und ebensoviel gegenüberliegenden gekrümmten Linien. Diese sind Stücke aus den Linien, die wir oben als Grenzfall extremer Streckung hatten. Hier sind weitere Beispiele ohne Ecken.

Im allgemeinen sind die Lösungen für die Dichte 1/2 keine Lösungen mehr für die Bahnen von Elektronen in einem parabolischen Magnetfeld. Sie sind immer noch Lösungen für das Fahrradspurproblem, wenn der Radler artistisch genug ist, mit seinem Fahrrad vorwärts und rückwärts zu fahren.

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