Trabajo en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Heidelberg como Wissenschaftlicher Mitarbeiter (investigador posdoctoral)
sobre diversos temas de la física matemática.
Recientemente he trabajado en lo siguiente:
Cuantización de la geometría no conmutativa. La geometría no conmutativa (fundada por Alain Connes)
generaliza la geometría diferencial riemanniana. El impacto que dicha generalización tiene en la física de altas energías
es la naturalidad con la que la geometría no conmutativa permite tratar, de manera unificada,
a los campos de gauge (también llamados de norma o calibración) y al campo de Higgs,
acoplados a la gravedad. Esa teoría tiene sentido a nivel clásico, por lo que, desde hace un par de décadas,
se intenta cuantizarla. Una de las maneras de abordar
dicho problema lleva por nombre geometría no conmutativa aleatoria (random noncommutative geometry).
Al cuantizar la teoría, surgen dificultades –de naturaleza técnica y conceptual–
que conducen a la propuesta de truncar las (álgebras describiendo las) geometrías ordinarias
descritas por variedades suaves
y reemplazarlas por aproximaciones de una resolución finita, conocidas como geometrías difusas (fuzzy) o matriciales.
En este contexto, me dedico al estudio de las teorías de gauge.
Geometrías no conmutativas sobre grafos.
Aunque la discretización de una variedad codificada en un grafo parezca burda,
desde el punto de vista matemático, un grafo es un objecto sobre el cual
estudiar teorías de gauge puede resultar interesante.
De hecho esto no
es muy diferente de lo que hace la teoría
de gauge en la red, si bien los grafos en los que estoy interesado
son menos regulares (y de hecho arbitrarios).
Es costumbre decorar las aristas de estos grafos con
matrices unitarias. En un grafo genérico, en mi enfoque geométrico lo que hago es
también asociar álgebras representadas en espacios de Hilbert a los vértices
(la dupla se llama pre-espectral), y morfismos entre los objetos
iniciales y finales de cualquier camino sobre el grafo.
Esto se llama representación de aljaba en una categoría pre-espectral.
Ciertos objetos geométricos llamados
triada espectral pueden ser construida partiendo de dicha representaciones.
En este contexto me interesa evaluar la función de partición, que
físicamente corresponde a la de una teoría de gauge-Higgs
sobre el grafo.
Grupo de renormalización. El interés en hallar transiciones de fase
de una geometría discreta hacia un continuo
me llevó al grupo de renormalización, en en enfoque funcional, no perturbativo.
Concerniente al tema, me he enfocado en herramientas algebraicas
que permiten describir la ecuación de Wetterich para modelos multimatriciales y
modelos tensoriales.
Tensores aleatorios. La lección del enfoque
matricial aleatorio a la gravedad cuántica en dimensión 2 llevó a
Ambjorn y a otros a proponer tensores aleatorios para modelar
gravedad cuántica en dimensiones más altas. El progreso de esta disciplina se mantuvo
congelado debido a la falta de una expansión en 1/N (siendo N el tamaño del tensor), análoga a la
de 't Hooft para matrices aleatorias. Esto llevó a Gurau a definir los
tensores aleatorios coloreados, que tienen
las precisas simetrías que se encargan de generar precisamente
aquellos grafos de Feynman que pueden ser interpretados como
variedad (linear a trozos). Gurau, quien por ello obtuvo el premio
Hermann Weyl en física matemática, obtuvo así la expansión 1/N
de los tensores aleatorios coloreados; y después,
con diversos colaboradores, la de otros modelos que obedecen
simetrías menos restrictivas.
Bootstrap. Uno esperaría que el poder y rango de aplicación de cierto teorema
estuviera relacionado con la dificultad de su prueba.
El bootstrap nos recuerda que eso no siempre es cierto, pues el
teorema que uno necesita en esta técnica puede probarse en una servilleta,
mas su aplicación resulta ser sorprendentemente poderosa. El hecho
clave es la positividad de una matriz de valores de esperanza
(que típicamente es de Hankel o de Toeplitz), cuyas entradas pueden calcularse con ecuaciones de
Dyson-Schwinger. Aquí estudié ensambles de matrices unitarias
y el bootstrap nos dice la solución del modelo usando la exclusión
de los menores de varios tamaños de la matriz (de Toeplitz) de momentos.
Sumabilidad de Borel (en este tema soy un principiante).
Considero modelos finito-dimensionales de la
teoría cuántica de campos (vectores aleatorios, matrices
aleatorias, tensores aleatorios de tamaño, N, NxN, NxNxN, etcétera) y
me interesa continuar analíticamente la
energía libre (el logaritmo de la función de partición)
en el tamaño del objeto, inicialmente el entero N, a un dominio máximo del plano complejo, donde la energía libre sea
sumable en el sentido de Borel. La herramienta que permite dicha continuación analítica
es la fórmula de bosques de Brydges-Kennedy-Abdesselam-Rivasseau
(que, a propósito, constituye una generalización del
teorema fundamental del cálculo).
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